在复数域求解四次多项式：已知因子z-3i求其余根

嘿，这个问题其实很好解决，核心是利用实系数多项式的共轭复根性质，我给你一步步拆解具体操作：

因为原多项式的系数全是实数，根据实系数多项式的共轭复根定理：如果复根 (z = 3i) 是多项式的根，那么它的共轭复数 (z = -3i) 也必然是这个多项式的根。对应的因式就是 (z + 3i)。

把已知的两个一次因式相乘，得到一个实系数二次多项式：

(z - 3i)(z + 3i) = z² - (3i)² = z² + 9

这里用到平方差公式，注意 (i² = -1)，所以计算后得到 (z² + 9)。

接下来我们需要把原多项式 (2z⁴ - 4z³ + 21z² - 36z + 27) 除以 (z² + 9)，得到剩下的二次因式。这里用待定系数法会更快捷：
假设原多项式可以分解为：

(z² + 9)(az² + bz + c) = 2z⁴ - 4z³ + 21z² - 36z + 27

展开左边的式子：

az⁴ + bz³ + (c + 9a)z² + 9bz + 9c

然后让左右两边对应次数的系数相等：

• (z⁴) 项：(a = 2)
• (z³) 项：(b = -4)
• (z²) 项：(c + 9a = 21)，代入 (a=2) 得 (c = 3)
• 验证常数项和 (z) 项：(9c = 27)（符合），(9b = -36)（也符合）

所以剩下的二次因式就是 (2z² - 4z + 3)。

对于二次方程 (2z² - 4z + 3 = 0)，直接用求根公式 (z = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a})，代入 (a=2)、(b=-4)、(c=3)：

z = \frac{4 ± \sqrt{(-4)² - 4×2×3}}{2×2} = \frac{4 ± \sqrt{16 - 24}}{4} = \frac{4 ± 2i\sqrt{2}}{4} = 1 ± \frac{\sqrt{2}}{2}i

原多项式的所有根为：

• (z = 3i)
• (z = -3i)
• (z = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}i)
• (z = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}i)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Three OneFour