求解非线性微分方程：y=-xp+x⁴p²（p=dy/dx）
Hey there! 作为刚接触常微分方程的大一新生，碰到这类带$p=\frac{dy}{dx}$的方程卡壳太正常了，我来一步步带你拆解这个问题：
首先把原方程明确下来：
$y = -xp + x4p2$ --- (1)
这个方程属于可通过参数法（以$p$为参数）求解的类型，核心思路是对$x$求导后分情况讨论，具体步骤如下：
步骤1：对原方程两边关于$x$求导
左边$\frac{dy}{dx}=p$，右边用乘积法则逐项求导：
$$
p = -p - x\frac{dp}{dx} + 4x3p2 + 2x^4p\frac{dp}{dx}
$$
步骤2：整理等式，分离含$\frac{dp}{dx}$的项
把所有项移到左边并化简：
$$
p + p - 4x3p2 = \frac{dp}{dx}(-x + 2x^4p)
$$
左边提取公因子$p$，右边提取公因子$x$：
$$
p(2 - 4x^3p) = x(2x^3p - 1)\frac{dp}{dx}
$$
注意到左边的$2-4x^3p = -2(2x^3p -1)$，代入后得到：
$$
-2p(2x^3p -1) = x(2x^3p -1)\frac{dp}{dx}
$$
步骤3：分两种情况讨论求解
情况一：$2x^3p -1 = 0$
此时$p = \frac{1}{2x^3}$，把这个$p$代入原方程(1)：
$$
y = -x \cdot \frac{1}{2x^3} + x^4 \cdot \left(\frac{1}{2x3}\right)2
$$
计算化简：
$$
y = -\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4x^2} = -\frac{1}{4x^2}
$$
这是方程的奇解（singular solution），它不包含在通解里，是一条特殊的积分曲线。
情况二：$2x^3p -1 \neq 0$
此时可以两边约掉$(2x^3p -1)$，得到可分离变量的方程：
$$
-2p = x\frac{dp}{dx}
$$
分离变量后积分：
$$
\int \frac{dp}{p} = -2\int \frac{dx}{x}
$$
积分结果为：
$$
\ln|p| = -2\ln|x| + C
$$
整理后（令$K = \pm e^C$，$K$为任意常数）：
$$
p = \frac{K}{x^2}
$$
把这个$p$代入原方程(1)，得到通解：
$$
y = -x \cdot \frac{K}{x^2} + x^4 \cdot \left(\frac{K}{x2}\right)2
$$
化简后：
$$
y = K^2 - \frac{K}{x}
$$
这里$K$可以是任意常数（包括$K=0$，此时$y=0$，代入原方程验证成立）。
最终结论
这个常微分方程的解包括：
- 通解：$y = K^2 - \frac{K}{x}$（$K$为任意常数）
- 奇解：$y = -\frac{1}{4x^2}$
内容的提问来源于stack exchange，提问作者user527123
