仅通过有理/无理数列收敛性能否判定函数在0点存在极限？

你提到的这个条件其实已经等价于函数极限存在的序列定义了，虽然看起来遗漏了同时包含有理数和无理数的序列，但这类序列的收敛性已经被有理子列和无理子列的收敛性完全覆盖，具体推导如下：

反证法证明 #

假设$f$在0点的极限不为$l$，根据函数极限的序列刻画，必然存在一个收敛于0的序列$(x_n)$，使得$f(x_n)$不收敛于$l$。

对于这个序列$(x_n)$，它必然满足以下情况之一：

• 序列中包含无穷多个有理数：此时可以从中提取出一个收敛于0的有理子列$(a_k)$（原序列收敛于0，其子列必然也收敛于0）。根据题设，$f(a_k)$应该收敛于$l$，但这与$f(x_n)$不收敛于$l$矛盾——因为如果原序列不收敛于$l$，它至少存在一个子列不收敛于$l$，但这里的有理子列却收敛于$l$，矛盾。
• 序列中包含无穷多个无理数：同理，提取出收敛于0的无理子列$(b_k)$，$f(b_k)$应该收敛于$l$，同样与$f(x_n)$不收敛于$l$矛盾。

如果序列$(x_n)$同时包含无穷多个有理数和无理数，那它的有理子列和无理子列都收敛于$l$。此时对于任意$\varepsilon>0$，总能找到足够大的$N$，当$n>N$时，不管$x_n$是有理还是无理，$|f(x_n)-l|<\varepsilon$，因此$f(x_n)$必然收敛于$l$，这也和假设矛盾。

通俗理解 #

简单来说，任何一个收敛于0的混合序列（同时有有理和无理数），都可以拆分成有理子列和无理子列，而这两个子列对应的函数值都收敛于$l$，那么整个混合序列的函数值也只能收敛于$l$——毕竟序列的极限由它所有子列的极限共同决定，只要所有子列都收敛到同一个值，原序列就一定收敛到这个值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者H.R