关于∫sin⁴x积分的三角恒等式咨询及求解请求

嗨，你已经找对了方向！确实有合适的三角恒等式能帮你完成这个积分，而且你用到的sin²x = (1−cos2x)/2就是核心，只是需要再用一次这个思路处理剩下的余弦平方项，咱们一步步拆解：

第一步：用平方恒等式降次 #

首先把sin⁴x转化为(sin²x)²，代入你已经掌握的正弦平方恒等式：

sin⁴x = [(1−cos2x)/2]² = (1 - 2cos2x + cos²2x)/4

第二步：处理剩余的余弦平方项 #

到这里出现了cos²2x，咱们对它复用余弦平方恒等式cos²θ = (1+cos2θ)/2（这里令θ=2x，所以2θ=4x）：

cos²2x = (1+cos4x)/2

把这个结果代回上式，通分整理分子：

sin⁴x = [1 - 2cos2x + (1+cos4x)/2]/4 = (3 - 4cos2x + cos4x)/8

第三步：逐项积分 #

现在所有项都转化成了可以直接积分的形式，利用基本积分规则：

• ∫1 dx = x + C
• ∫cos(kx) dx = (1/k)sin(kx) + C

计算过程如下：

∫sin⁴x dx = ∫(3 - 4cos2x + cos4x)/8 dx
= (1/8)∫3 dx - (1/8)∫4cos2x dx + (1/8)∫cos4x dx
= (3/8)x - (4/8)*(1/2)sin2x + (1/8)*(1/4)sin4x + C
= (3/8)x - (1/4)sin2x + (1/32)sin4x + C

可选：验证结果正确性 #

如果你对结果存疑，可以对求导反向验证：
对(3/8)x - (1/4)sin2x + (1/32)sin4x求导，得到：

3/8 - (1/4)*2cos2x + (1/32)*4cos4x = 3/8 - (1/2)cos2x + (1/8)cos4x

代入cos4x=2cos²2x-1化简后，最终会回到sin⁴x，说明结果正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Trey