微分方程求解时能否通过扩展参数域去除绝对值？

首先直接给结论：将C的定义域扩展至全体非零实数后，完全可以去掉绝对值，且不会遗漏通解之外的解——不过要注意单独补上分离变量过程中被忽略的常数解。

为什么可以去掉绝对值？ #

原方程 $|\frac{y-u}{y}| = Ce^{ux}$（$C>0$）本质上等价于：
$$\frac{y-u}{y} = Ce^{ux} \quad \text{或} \quad \frac{y-u}{y} = -Ce^{ux}$$
如果我们把参数替换为 $K \in \mathbb{R}\setminus{0}$，让 $K$ 取遍所有非零实数，那么 $K$ 既可以是正数（对应原来的 $C$），也可以是负数（对应原来的 $-C$）。这时候方程就可以统一写成：
$$\frac{y-u}{y} = Ke^{ux}$$
这就相当于去掉了绝对值符号，同时用更宽泛的非零参数 $K$ 覆盖了原来两种符号的情况。

会不会遗漏解？ #

这里要分两种情况看：

• 通解部分：扩展参数后，我们已经覆盖了原来绝对值方程对应的所有非常数解，没有遗漏。
• 常数解部分：在分离变量求解的过程中，我们默认了 $y \neq 0$ 且 $y \neq u$（因为分母是 $y(y-u)$），所以这两个常数解并没有包含在上述带参数 $K$ 的方程里：
  • $y=0$：代入原方程验证，$y'=0$，右边 $0^2 - u\cdot0=0$，满足方程，是一个解。
  • $y=u$：代入原方程，$y'=0$，右边 $u^2 - u\cdot u=0$，也满足方程，是另一个解。

所以总结下来，扩展参数到全体非零实数去掉绝对值后，只要补上这两个常数解，就不会遗漏任何解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jalil Compaoré