求解Ax=0：为何不存在满足解空间为零子空间的2×3矩阵A？

嘿，刚入门线性代数有这种困惑太正常啦，咱们把问题拆开来理清楚：

先明确几个关键概念 #

• 零子空间：你理解的没错，零子空间就是仅包含零向量的空间，也就是span{0}，它的维数是0。
• 零矩阵的情况：如果A是2×3的零矩阵，那Ax=0就等价于0·x=0——这时候所有3维向量x都是解，解空间是整个ℝ³，完全不是零子空间，所以零矩阵肯定不符合要求哦。

为什么不存在这样的2×3矩阵A？ #

这里要用到线性代数里的秩-零度定理（Rank-Nullity Theorem），对于一个m×n的矩阵A，有公式：

rank(A) + nullity(A) = n

其中：

• rank(A)是矩阵A的秩（即列空间的维数）
• nullity(A)是A的零空间（也就是Ax=0的解空间）的维数

现在我们要求解空间是零子空间，那意味着nullity(A)=0，代入公式的话，需要rank(A)=n=3。但A是2×3矩阵，它的秩最大只能等于行数2（因为秩是矩阵中行/列向量组的极大线性无关组的大小，不可能超过行数或列数的最小值），所以rank(A)最多是2，不可能达到3，这就产生了矛盾。

换句话说，行数少于列数的“矮胖”矩阵，它的零空间维数至少是n-m（这里就是3-2=1），所以零空间至少是1维的，不可能是0维的零子空间。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jonathan Low