求证：阶大于1且非素数的群G存在非平凡子群

嘿，你已经掌握了素数阶群的核心结论，其实只要顺着这个思路延伸一下，就能解决非素数阶的情况了，咱们一步步拆解：

首先明确已知条件和目标：

• 设群( G )的阶为( n )，满足( n>1 )且( n )不是素数，即( n )可以分解为两个大于1的正整数的乘积：( n = k \times m )，其中( 1 < k, m < n )。
• 我们需要找到( G )的一个子群，既不是平凡子群( {e} )，也不是( G )本身。

接下来分情况推导：

• 第一步：取G中任意非单位元元素
  因为( |G|=n>1 )，所以必然存在元素( g \in G )且( g \neq e )。考虑由( g )生成的循环子群( \langle g \rangle )，根据Lagrange定理，子群的阶( d = |\langle g \rangle| )必然整除( n )。

• 情况1：( 1 < d < n )
  这时候( \langle g \rangle )就是一个非平凡子群——它的阶既不是1（因为( g \neq e )），也不是( n )，直接满足我们的目标。

• 情况2：( d = n )
  这说明( G )是一个循环群（由( g )生成），阶为( n = k \times m )。此时我们取元素( h = g^k )，来分析它生成的子群( \langle h \rangle )：

  • 计算( h )的阶：( h^m = (g^k)m = g^{k \times m} = g^n = e )（因为群元素的阶整除群的阶）。
  • 假设存在更小的正整数( t < m )使得( h^t = e )，那么( g^{k \times t} = e )，而( g )的阶是( n = k \times m )，所以( k \times t )必须整除( k \times m )，即( t )整除( m )。但( t < m )，这与( m )的正整数属性矛盾，所以( h )的阶就是( m )。
  • 因为( 1 < m < n )，所以( \langle h \rangle )就是一个非平凡子群。

综上，不管哪种情况，非素数阶（阶>1）的群都一定存在非平凡子群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Four Seasons