等价关系证明：若$a \sim b$则$[a] = [b]$的证明方法咨询

没问题，这是等价关系体系里最核心的结论之一，咱们严格按照你说的双向子集包含的思路来写证明，全程紧扣等价关系的定义和性质，保证逻辑严谨：

首先得把用到的基础概念摆清楚，避免歧义：

• 设$\sim$是集合$S$上的一个等价关系，即满足三个性质：
  1. 自反性：对任意$x \in S$，$x \sim x$
  2. 对称性：对任意$x,y \in S$，若$x \sim y$则$y \sim x$
  3. 传递性：对任意$x,y,z \in S$，若$x \sim y$且$y \sim z$则$x \sim z$
• 元素$a$的等价类定义为：$[a] = { x \in S \mid x \sim a }$

要证明子集包含，我们的标准操作是：任取一个属于左边集合的元素，证明它也属于右边集合。

1. 任取元素$x \in [a]$，根据等价类的定义，这意味着$x \sim a$。
2. 已知条件是$a \sim b$，根据等价关系的对称性，可以推出$b \sim a$。
3. 现在我们有$x \sim a$且$a \sim b$，结合等价关系的传递性，可得$x \sim b$。
4. 再根据等价类的定义，$x \sim b$就意味着$x \in [b]$。

因为任意$x \in [a]$都满足$x \in [b]$，所以$[a] \subset [b]$得证。

和上面的思路完全对称，同样用“任取元素+性质推导”的方法：

1. 任取元素$y \in [b]$，根据等价类定义，有$y \sim b$。
2. 已知$a \sim b$，根据对称性，直接得到$a \sim b \implies b \sim a$。
3. 现在有$y \sim b$且$b \sim a$，结合传递性，可得$y \sim a$。
4. 根据等价类定义，$y \sim a$意味着$y \in [a]$。

因为任意$y \in [b]$都满足$y \in [a]$，所以$[b] \subset [a]$得证。

因为我们已经证明了$[a] \subset [b]$ 且 $[b] \subset [a]$，根据集合相等的定义（两个集合互相包含则相等），可以直接得出：
$$[a] = [b]$$

这样整个证明就完整了，每一步都有定义或性质支撑，逻辑非常扎实～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者a.nas