关于bandlimited与timelimited的数学术语及傅里叶变换相关问题

问题1：这是否源于傅里叶变换？ #

绝对是——这个核心结论就是傅里叶变换基本性质的直接推导结果，甚至有专门的定理来佐证：

• 直观来说：如果一个信号是时限的（只在某个有限时间区间内有非零值），它的傅里叶变换本质上是无数个sinc函数的叠加，而sinc函数的频谱是无限延伸的，根本不可能被限制在某个有限频率范围内，所以不可能是带限的。
• 反过来，带限信号的逆傅里叶变换同样是sinc函数的叠加，这类函数会无限延伸到整个时间轴，不可能被框在有限的时间区间里。

更严谨的数学依据是Paley-Wiener定理，它明确指出：一个非零信号不可能同时是时限和带限的——只有全零信号能同时满足这两个条件，这就从数学上彻底坐实了你提到的互斥性。

问题2：“bandlimited”和“timelimited”对应的数学术语是什么？ #

在中文的信号处理与数学领域，这两个词的标准对应术语是：

• bandlimited → 带限信号（也常被称为限带信号）：数学定义是，信号的傅里叶变换（频谱）仅在有限的频率区间内非零，超出该区间的频谱幅值为0。
• timelimited → 时限信号（也可称为限时信号）：数学定义是，信号仅在有限的时间区间内有非零值，区间外的所有时间点信号值均为0。

如果用公式化的表述会更清晰：

• 时限信号：存在实数 ( T_1 < T_2 )，使得对任意 ( t \notin [T_1, T_2] )，有 ( x(t) = 0 )。
• 带限信号：存在实数 ( \Omega_1 < \Omega_2 )，使得对任意 ( \omega \notin [\Omega_1, \Omega_2] )，有 ( X(\omega) = 0 )（其中 ( X(\omega) ) 是 ( x(t) ) 的傅里叶变换）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JDoeDoe