函数$rac{x(1+x)}{2x^2}$在x=0处是可去间断点还是垂直渐近线？

你的困惑很常见，我来帮你理清这个问题：

首先明确两个关键概念的核心区别：

• 可去间断点：函数在该点的极限存在（是一个有限值），但函数在该点无定义，或者定义值不等于极限值。
• 垂直渐近线：当x趋近于该点时，函数的极限为无穷大（正无穷或负无穷）。

接下来一步步分析你的函数：

1. 原函数$\frac{x(1+x)}{2x^2}$的定义域是$x \neq 0$，约分后得到$\frac{1+x}{2x}$——这个简化后的函数和原函数在$x \neq 0$时完全等价，但x=0仍然不在定义域内。
2. 计算x趋近于0时的极限：
   $$\lim_{x \to 0} \frac{1+x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2x} + \frac{1}{2} \right)$$
   当$x \to 0^+$（从右侧趋近0）时，$\frac{1}{2x}$趋向正无穷，整个表达式的极限是正无穷；
   当$x \to 0^-$（从左侧趋近0）时，$\frac{1}{2x}$趋向负无穷，整个表达式的极限是负无穷。

不管是左极限还是右极限，都是无穷大，不符合可去间断点“极限存在且有限”的要求。因此，x=0处是垂直渐近线，而非可去间断点。

你可能混淆的点在于：约分只是简化了表达式，但并没有改变x=0附近的函数趋势——原函数在x=0附近始终是趋向无穷，而非某个有限值。举个对比例子：函数$\frac{x^2}{x}$约分后是$x$，x趋近于0时极限为0（有限值），这时候x=0才是可去间断点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Skm