Levi-Civita张量缩并矛盾求解：推导结果与预期不符的疑问

嘿，我来帮你揪出推导里的问题！你这里的核心错误是对爱因斯坦求和约定的误用——你把$\delta_{jj}$当成了1，但实际上$\delta_{jj}$是对重复指标j的求和，在三维空间里，这个求和的结果是3，不是1。

咱们一步步重新推导，把细节理清楚：

首先，Levi-Civita张量的基本缩并公式是：
$$\epsilon_{ijk}\epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$$
当我们把公式里的$m$替换成$j$时，就得到你写的式子：
$$\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijn} = \delta_{jj}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kj}$$

现在分别处理等式右边的两项：

• 第一项：$\delta_{jj}$是对指标j从1到3求和（三维空间下），也就是$\delta_{11} + \delta_{22} + \delta_{33} = 1+1+1=3$，所以第一项的结果是$3\delta_{kn}$。
• 第二项：$\delta_{jn}\delta_{kj}$，这里同样要对j求和。根据克罗内克δ函数的性质，只有当$j=n$且$k=j$时，乘积才为1，这等价于$k=n$，所以对j求和后，结果就是$\delta_{kn}$。

把两项代入原式：
$$\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijn} = 3\delta_{kn} - \delta_{kn} = 2\delta_{kn}$$
这样就得到了正确的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lenz