曲线切线垂线方程、最小斜率及斜率为8的切线方程求解

嘿，我来帮你把这几个问题的完整解答梳理清楚，顺便补充你需要的最小斜率内容：

1. 求曲线在点$(2,7)$处切线的垂线方程 #

首先求曲线的导数（也就是斜率函数）：y' = 3x² - 4
代入$x=2$，得到切线斜率为$3*(2)^2 -4 = 8$。
因为垂线与切线斜率互为负倒数，所以垂线斜率为$-rac{1}{8}$。
用点斜式代入点$(2,7)$，得到垂线方程：
$y - 7 = -rac{1}{8}(x - 2)$
整理后就是你求得的：$y=-rac{1}{8}x+rac{29}{4}$，这个结果完全正确👍

2. 求曲线上的最小斜率及对应的点 #

曲线的斜率就是导数y' = 3x² - 4，这是一个开口向上的二次函数，它的最小值出现在顶点处（$x=0$时）。
代入$x=0$，得到最小斜率为$3*0² -4 = -4$。
再把$x=0$代入原曲线方程，得到对应的点为$(0, 7)$。
所以最小斜率的值是-4，对应曲线上的点是$(0,7)$。

3. 求曲线上斜率为8的切线方程 #

令导数等于8，解方程：
3x² -4 = 8
整理得$3x²=12$ → $x²=4$ → $x=2$ 或 $x=-2$。

• 当$x=2$时，对应点是$(2,7)$，切线方程为$y-7=8(x-2)$，整理得$y=8x-9$；
• 当$x=-2$时，代入原曲线得$y=(-2)^3 -4*(-2)+7=7$，对应点是$(-2,7)$，切线方程为$y-7=8(x+2)$，整理得$y=8x+23$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者johnny