定义域外的反常积分：询问$$\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{1-x}}\,\mathrm{d}x$$的计算标准惯例

嘿，这个问题问得很关键，咱们一步步理清楚。

首先得明确：定积分（包括反常积分）的核心前提是被积函数在积分区间的几乎所有点上有实数定义。对于$\frac{1}{\sqrt{1-x}}$来说，它的定义域是$x < 1$——毕竟实数域里根号下的数必须严格大于0，否则函数没有意义。

针对你的问题，咱们拆成两部分说：

• 积分$\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{1-x}},\mathrm{d}x$在实数范围内根本不存在。原因很直接：当$x \geq 1$时，$\frac{1}{\sqrt{1-x}}$没有实数定义，整个$[1,3]$区间上函数都“不存在”，咱们没法对一个不存在的函数做积分运算。
• 而$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}} , \mathrm{d}x$是标准的瑕点型反常积分：这里$x=1$是瑕点（函数在$x$趋近于$1^-$时趋于正无穷，但在$[0,1)$上函数完全有定义），可以用反常积分的标准方法计算，过程如下：
  $$
  \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}} , \mathrm{d}x = \lim_{t \to 1^-} \int_0^t \frac{1}{\sqrt{1-x}} , \mathrm{d}x
  $$
  做变量替换$u=1-x$，则$\mathrm{d}u=-\mathrm{d}x$，积分上下限对应变为$u=1$到$u=1-t$，代入后：
  $$
  \lim_{t \to 1^-} \int_1^{1-t} -\frac{1}{\sqrt{u}} , \mathrm{d}u = \lim_{t \to 1^-} \int_{1-t}^1 u^{-1/2} , \mathrm{d}u = \lim_{t \to 1^-} \left[ 2\sqrt{u} \right]{1-t}^1 = \lim{t \to 1^-} (2 - 2\sqrt{1-t}) = 2
  $$

总结一下：别把$\int_0^{3$的积分和$\int_0}1$的混为一谈——前者因为包含了函数无定义的区间，在实数积分的范畴里完全没有意义；后者是合法的反常积分，能算出确定的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shreyas B.