求指导：证明$m\times n$矩阵定义的$C=\{x: Ax\le 0\}$至多有一个极点

你的反证法思路完全正确，咱们顺着这个方向继续推导：

假设$C$存在两个不同的极点$x$和$y$，显然至少其中一个不是原点（否则就不存在“不止一个极点”的情况），咱们先针对$x \neq 0$的情况分析：

• 因为$x \in C$，满足$Ax \le 0$，对于任意非负实数$t$，$A(tx) = tAx \le 0$，所以$tx$必然属于$C$。
• 构造两个属于$C$的点：$x_1 = 2x$（显然$A(2x)=2Ax \le 0$，属于$C$），$x_2 = 0$（$A \cdot 0 = 0 \le 0$，显然属于$C$）。
• 把$x$表示成$x_1$和$x_2$的凸组合：$x = \frac{1}{2}x_1 + \frac{1}{2}x_2$，这里权重$\lambda = \frac{1}{2} \in (0,1)$。
• 根据极点的核心定义：极点不能表示为集合内两个不同点的凸组合。但这里$x \neq x_1$（因为$x \neq 0$）、$x \neq x_2$，这直接和$x$是极点的假设矛盾！

用同样的逻辑，若$y \neq 0$，也能推出完全一致的矛盾。这说明$C$中所有非原点的点都不可能是极点，唯一可能成为极点的只有原点。

另外补充一点：原点是否真的是极点，取决于$C$的具体结构（比如当$C$是整个$\mathbb{R}^n$空间时，不存在任何极点），但题目要求证明的是“至多有一个极点”，所以无论原点是否是极点，这个结论都成立——要么没有极点，要么只有原点这一个极点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user441848