复变量z的轨迹问题：满足|z+a|=|z-a|时是否为a与-a的垂直平分线？

没错，z的轨迹确实是a与-a两点连线的垂直平分线，咱们用代数推导和几何意义两方面来验证：

一、代数推导验证 #

设复数的代数形式：

• 变量复数 z = x + yi（x、y为实数）
• 固定复数 a = m + ni（m、n为实数）

根据复数模长的定义，|w| = √(实部² + 虚部²)，代入条件等式：

|z+a| = √[(x+m)² + (y+n)²]
|z-a| = √[(x-m)² + (y-n)²]

因为模长相等，两边平方去掉根号：

(x+m)² + (y+n)² = (x-m)² + (y-n)²

展开并化简等式：
左边展开：x² + 2mx + m² + y² + 2ny + n²
右边展开：x² - 2mx + m² + y² - 2ny + n²

消去两边相同的项（x²、y²、m²、n²），得到：

4mx + 4ny = 0 → mx + ny = 0

二、几何意义分析 #

在复平面上，复数对应平面直角坐标系的点：

• a对应点 (m, n)，-a对应点 (-m, -n)
• 方程 mx + ny = 0 是一条过原点的直线：
  1. 它的斜率为 -m/n（当n≠0时），而a与-a连线的斜率为 n/m，两者乘积为-1，说明两条直线互相垂直；
  2. 原点是a与-a连线的中点，且原点满足方程 mx + ny = 0（代入得0=0），说明这条直线经过线段a-a的中点。

结合垂直平分线的定义：到线段两个端点距离相等的点的集合，方程mx + ny = 0上的任意点(x,y)到(m,n)和(-m,-n)的距离相等，完全符合垂直平分线的特征。

特殊情况补充 #

如果a=0，原条件变为|z|=|z|，此时所有复数z都满足条件，轨迹是整个复平面——这是a为零的特例，通常讨论的是a≠0的情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aditi