求所有满足$(n+2) \mid (n^2+5)$的自然数$n \in \mathbb{N}$

嘿，你的测试结果完全正确！满足条件的自然数确实只有1和7，我来一步步帮你把推导过程理清楚，其实核心就是把模运算的关键步骤补全就行～

核心思路：利用同余简化计算 #

我们可以通过同余替换快速算出$n^2 \mod(n+2)$的值：
因为$n \equiv -2 \pmod{n+2}$（毕竟$n - (-2) = n+2$，刚好是除数），所以把$n$换成$-2$来计算平方的模：
$$n^2 \equiv (-2)^2 = 4 \pmod{n+2}$$

那这样的话，$n^2 + 5$的模就可以直接推导出来：
$$n^2 + 5 \equiv 4 + 5 = 9 \pmod{n+2}$$

这就意味着：$(n+2) \mid (n^2+5)$ 等价于 $(n+2) \mid 9$——只有当$n^2+5$是$n+2$的倍数时，它模$n+2$才等于0，也就是$n+2$必须整除9。

找出所有符合条件的自然数$n$ #

接下来我们只需要找出9的所有正约数，再对应求出$n$：

• 9的正约数有：1、3、9
• 逐个对应计算：
  • 若$n+2=1$，则$n=-1$，不是自然数，直接排除
  • 若$n+2=3$，则$n=1$，验证：$1+2=3$，$1^2+5=6$，$3\mid6$，符合条件
  • 若$n+2=9$，则$n=7$，验证：$7+2=9$，$7^2+5=54$，$9\mid54$，符合条件

补充验证其他自然数 #

你可以随便试其他自然数，比如$n=0$：$0+2=2$，$0+5=5$，2不整除5；$n=2$：$2+2=4$，$4+5=9$，4不整除9；$n=3$：$3+2=5$，$9+5=14$，5不整除14——都不符合条件，所以确实只有1和7两个解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Meik Vtune