求解根式方程$(4x-1)\sqrt{x^3+1}=2x^3+2x+1$及简化解法

我之前在求解这个根式方程时遇到了不小的困难：
$$(4x-1)\sqrt{x^3+1}=2x3+2x+1$$

后来根据评论区的指导，我摸索出了一套相对简便的解法，一步步推导如下：

$$(4x-1)\sqrt{x^3+1}=2x3+2x+1$$

$$
\begin{align*}
&\Leftrightarrow 2(x^3+1)-\sqrt{x3+1}-4x\sqrt{x^{3+1}+2x+2\sqrt{x}3+1}-1=0\
&\Leftrightarrow \sqrt{x^{3+1}(2\sqrt{x}3+1}-1)-2x(2\sqrt{x^{3+1}-1)+2\sqrt{x}3+1}-1=0\
&\Leftrightarrow(2\sqrt{x^{3+1}-1)(\sqrt{x}3+1}-2x+2)=0\
&\Leftrightarrow 2\sqrt{x^3+1}-1=0\quad\text{或}\quad \sqrt{x^3+1}-2x+2=0\
&\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{-3/4}\quad\text{或}\quad \begin{cases} x\geq 1/2\ x^3+1=4x2-4x+1\ \end{cases}\
&\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{-3/4}\quad\text{或}\quad x=2.
\end{align*}
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Blind