求解单变量多项式函数的局部极大值与极小值

Hey there, let me break down how to find local maxima and minima for univariate polynomials, along with definitions, requirements, and a concrete example using calculus:

定义 #

函数的局部极大值与局部极小值，指的是函数在某个小邻域内的最大值和最小值——注意哦，这和整个定义域或者指定区间的全局最值是不一样的概念。

任务目标 #

我们需要实现一个方法，来计算给定单变量多项式的局部极大值和极小值。输入是该多项式的系数数组，支持两种排列方式：幂次降序或者升序。举两个直观的例子：

• 输入[3,-7,1]对应的多项式是 $3x^2 - 7x + 1$
• 输入[4,0,0,-3]对应的多项式是 $4x^3 - 3$

导数法求解示例（分步详解） #

我拿输入[1,-12,45,8]对应的函数 $x^3 - 12x^2 + 45x + 8$ 来一步步演示：

1. 计算一阶导数多项式
   对于一般形式的多项式 $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$，它的一阶导数公式是 $n*a_nx^{n-1} + (n-1)*a_{n-1}x^{n-2} + ... + a_1$。
   套用到这个例子里，原函数的一阶导数是 $3x^2 - 24x + 45$，对应的系数数组就是[3,-24,45]。
2. 求解临界点（一阶导数为0的x值）
   我们需要解方程 $3x^2 - 24x + 45 = 0$，先两边除以3化简成 $x^2 - 8x + 15 = 0$，因式分解后得到 $(x-3)(x-5)=0$，所以临界点是 $x=3$ 和 $x=5$。
3. 用二阶导数判断临界点类型
   接下来对一阶导数再求导，得到二阶导数：$6x - 24$，对应的系数数组是[6,-24]。
   • 把 $x=3$ 代入二阶导数：$63 -24 = -6$，结果小于0，说明这个点是局部极大值点。代入原函数计算极大值：$3^3 -123^2 +45*3 +8 = 27 - 108 + 135 +8 = 62$。
   • 把 $x=5$ 代入二阶导数：$65 -24 = 6$，结果大于0，说明这个点是局部极小值点。代入原函数计算极小值：$5^3 -125^2 +45*5 +8 = 125 - 300 + 225 +8 = 58$。

这样就完整求出了这个多项式的局部极值啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Manish Kundu