求证二次方程x²=bx+c的解的n次幂满足指定递归公式

别担心，我一步步带你拆解这个证明，核心思路其实就藏在方程根的定义里，一点都不复杂～

第一步：明确已知条件 #

因为α₁和α₂是二次方程x² = bx + c的解，根据方程根的定义，它们各自满足这个等式：

• α₁² = bα₁ + c
• α₂² = bα₂ + c

第二步：推导α₁ⁿ的递归关系 #

我们要证明α₁^(n+2) = bα₁^(n+1) + cα₁ⁿ，从左边的项开始变形：

1. 把α₁^(n+2)拆成指数相乘的形式：α₁^(n+2) = α₁² * α₁ⁿ（利用指数运算法则a^(m+k) = a^m * a^k）
2. 代入第一步中α₁²的表达式：α₁^(n+2) = (bα₁ + c) * α₁ⁿ
3. 展开右边的乘法：α₁^(n+2) = bα₁^(n+1) + cα₁ⁿ

这就正好符合递归公式a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n的形式（这里aₙ就是α₁ⁿ）。

第三步：推导α₂ⁿ的递归关系 #

完全同理，对α₂做一样的操作：

1. α₂^(n+2) = α₂² * α₂ⁿ
2. 代入α₂²的表达式：α₂^(n+2) = (bα₂ + c) * α₂ⁿ
3. 展开后得到：α₂^(n+2) = bα₂^(n+1) + cα₂ⁿ

同样满足这个递归公式。

总结 #

本质上就是利用“根代入方程成立”这个最基础的性质，通过指数运算的变形，直接推导出递归关系。是不是一下子就清晰了？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JohnDoe