关于O符号代数证明：(N+1)(Hₙ+O(1))=NlnN+O(N)的疑问

嘿，你的理解完全正确！咱们一步步拆解这个问题，把为什么lnN项可以被忽略的逻辑讲清楚：

首先回顾已知条件：我们已经有调和数的近似式 Hₙ = lnN + O(1)，要证明 (N + 1)(Hₙ + O(1)) = NlnN + O(N)。

规范展开过程 #

先把你的展开步骤优化得更严谨一点：

1. 代入Hₙ的近似式，先合并同类O项：

   (N + 1)(Hₙ + O(1)) = (N + 1)(lnN + O(1) + O(1)) = (N + 1)(lnN + O(1))
   

   这里两个O(1)可以合并成一个O(1)，因为常数级的加和依然是常数级。
2. 展开(N+1)：

   = N(lnN + O(1)) + 1*(lnN + O(1))
   = NlnN + N·O(1) + lnN + O(1)
   

为什么lnN项可以忽略？ #

现在看展开后的各项：

• NlnN是主导项，它的增长速度是超线性的（比N快）；
• N·O(1)等价于O(N)，因为常数乘以N依然是线性增长级；
• lnN是对数增长级，O(1)是常数级。

关键在于渐近符号O(N)的定义：它代表所有增长速度不超过线性N的函数集合。而对数函数lnN的增长速度远慢于N——比如当N≥2时，lnN < N；当N足够大时，甚至lnN ≤ C·N（随便取一个小常数C，比如0.1，当N足够大时都成立）。所以lnN本身就属于O(N)这个集合，同理O(1)也属于O(N)。

因此我们可以把这些小项全部合并到O(N)中：

NlnN + O(N) + lnN + O(1) = NlnN + O(N) + O(N) = NlnN + O(N)

总结一下 #

你的核心理解完全正确：因为lnN的渐近增长速度慢于N，而O(N)包含所有增长速度不超过线性的项，所以lnN项可以被O(N)覆盖，从而在最终的渐近表达式中被忽略。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Racoon22