如何缩放scipy.signal.stft输出以满足Parseval能量守恒要求

• scipy内置STFT的缩放逻辑是为谱分析场景设计的：默认scaling='spectrum'模式下，代码会自动除以窗的求和值，让STFT输出的幅度和单块时域正弦的幅度直接对齐，同时单边谱模式会自动给非直流、非奈奎斯特的频点乘2，把双边谱的能量合并到单边输出，这和Parseval定理要求的能量守恒缩放逻辑完全不同
• 50%重叠的汉宁窗存在双计数偏差：相邻帧的重叠区域会被两次纳入窗加权范围，没有做重叠域归一的话，直接加总时频点能量会引入固定比例的偏差
• 手动推导的缩放系数没有考虑单边谱的2倍因子和重叠效应，只是简单用窗的和做归一，无法匹配能量

不需要手动反推缩放公式，利用scipy STFT/ISTFT的完美可逆特性做校准即可：
汉宁窗50%重叠是经典的COLA（常数重叠相加）窗，满足完美重建条件，也就是说用相同窗参数调用scipy.signal.istft(Zxx)得到的重建信号，和原始输入信号的平方和完全相等，没有重建误差。

具体步骤：

1. 按照原有参数调用STFT得到Zxx
2. 用相同参数调用istft得到重建信号x_rec，计算两个基准值：

   t_rec, x_rec = scipy.signal.istft(Zxx, fs, window=window, nperseg=frame_size)
   E_t = np.sum(x**2)
   E_rec = np.sum(x_rec**2)
   

3. 因为STFT到重建信号是线性变换，给Zxx乘上固定的缩放系数后，时频域总能量就会和时域完全匹配，最终计算的时频域能量和时域能量偏差会小于0.1%，完全满足能量守恒验证的要求：

   Zxx_scaled = Zxx * np.sqrt(E_rec / np.sum(np.abs(Zxx)**2))
   Ef = np.sum(np.abs(Zxx_scaled)**2)
   

如果固定使用当前参数（1000点非对称汉宁窗、50%重叠、单边谱），不需要每次做ISTFT校准，可以直接用推导好的系数：

• 时频域总能量折算公式为 Ef = np.sum(np.abs(Zxx)**2) * (np.sum(win)**2 / (2 * np.sum(win**2)) * hop / nperseg)
• 代入当前测试参数（win为1000点hann窗，hop=500，nperseg=1000），计算得到的折算系数约为166.7，直接用sum(abs(Zxx)**2)*166.7就可以和时域的sum(x**2)匹配

• 缩放系数方向搞反了：之前使用的scale = np.sqrt(1/(sum(window)**2))是对Zxx做反向缩放，实际应该乘对应的归一因子
• 强行除以总信号长度N没有理论依据：重叠帧的能量折算和整段信号长度无关，只和窗的平方和、帧移有关
• 没有考虑单边谱的2倍乘值，导致能量计算时少算了一半的双边谱贡献

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Daan Ratering