R语言绘制对数正态密度曲线高度不符计算值且随x轴范围变化的问题

问题描述 #

• 已确认分布参数：对数正态分布的对数均值为-0.4，对数标准差为2.5
• 手动验算结果：通过对数正态概率密度函数（PDF）、R内置的dlnorm函数计算，当x = 0.001时，密度计算结果为5.389517：

  dlnorm(0.001, -0.4, 2.5)
  # 输出：5.389517
  

• 第一种绘图情况：使用R基础绘图的curve函数，设置输入范围0到6时，呈现的密度曲线峰值仅略高于1.5，对应代码如下：

  curve(dlnorm(x, -.4, 2.5), xlim = c(0, 6), ylim = c(0, 6))
  

• 第二种绘图情况：将输入范围调整为0到1时，绘制出的曲线峰值接近4，对应代码如下：

  curve(dlnorm(x, -.4, 2.5), xlim = c(0, 1), ylim = c(0, 6))
  

• 复现验证：使用ggplot2绘制时存在完全相同的问题，对应代码如下：

  library(ggplot2)
  
  # x范围0-6的绘图
  ggplot(data = data.frame(x = 0), mapping = aes(x = x)) + 
    stat_function(fun = function(x) dlnorm(x, -0.4, 2.5)) + 
    xlim(0, 6) + 
    ylim(0, 6)
  
  # x范围0-1的绘图
  ggplot(data = data.frame(x = 0), mapping = aes(x = x)) + 
    stat_function(fun = function(x) dlnorm(x, -0.4, 2.5)) + 
    xlim(0, 1) + 
    ylim(0, 6)
  

• 已验证绘制普通正态密度曲线时不会出现这类问题
• 核心疑问：为何调整x轴刻度范围时，对数正态密度的绘制高度会发生变化？且上述两种绘制方式都无法呈现dlnorm计算得到的正确峰值高度？

原因与解决方案 #

核心原因1：该分布的理论峰值位置极度靠近x轴原点 #

对数正态分布PDF的极值点（峰值位置）可通过求导推导得到，公式为：

x_peak = exp(μ_log - σ_log²)

其中μ_log为对数均值，σ_log为对数标准差。代入本次的参数μ_log=-0.4，σ_log=2.5，计算得：
x_peak = exp(-0.4 - 2.5²) = exp(-6.65) ≈ 0.0013
也就是说，整个分布的全局峰值落在x≈0.0013的位置，和手动验算的x=0.001处的密度值位置完全重合。

核心原因2：默认绘图函数的采样步长过大，直接跳过了峰值所在的近0区域 #

R基础绘图的curve函数、ggplot2的stat_function默认仅生成101个等距分布的x采样点计算y值并连线：

1. 当x范围设为0到6时，采样步长为 6/(101-1) = 0.06，所有采样点的序列为0, 0.06, 0.12, ..., 6，完全跳过了x在0到0.06之间的区域——这正是全局峰值所在的区间。此时看到的“仅略高于1.5”的峰值，是x>0.06区域内的局部密度最大值，和真正的全局峰值无关。
2. 当x范围设为0到1时，采样步长为1/(101-1)=0.01，采样点序列为0, 0.01, 0.02, ..., 1，依然跳过了x在0到0.01之间的区域（峰值就在x≈0.0013，刚好落在这个被跳过的区间里）。此时看到的“接近4”的峰值，是x=0.01位置对应的密度值（计算可得dlnorm(0.01, -0.4, 2.5)≈3.88），依然不是全局最大值。

注：普通正态分布不存在该问题，是因为正态分布的峰值位置通常和x范围的中心重合，等距采样必然会覆盖到峰值附近的点，不会出现整段区间被跳过的情况。

修正方法 #

要完整绘制出包含正确峰值的曲线，只需要大幅提升采样密度，缩小采样步长即可：

1. 基础绘图修改示例：将curve的采样点数从默认101提升到10000，步长会缩小到原来的1%，足以覆盖到x=0.001附近的峰值：

   curve(dlnorm(x, -.4, 2.5), xlim = c(0, 6), ylim = c(0, 6), n = 10000)
   

2. ggplot2修改示例：为stat_function设置更大的采样点数：

   ggplot(data = data.frame(x = 0), mapping = aes(x = x)) + 
     stat_function(fun = function(x) dlnorm(x, -0.4, 2.5), n = 10000) + 
     xlim(0, 6) + 
     ylim(0, 6)
   

修改后绘制的曲线会完整呈现出x≈0.0013位置、高度约5.39的峰值，和dlnorm的手动计算值完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者LMc