已知节点坐标与面点顺序，求非凸多面体外法线向量方法咨询

嘿，其实不管多面体是凸的还是非凸的，只要你已经知道每个面的顶点是沿外法线方向的逆时针/顺时针顺序排列的，就可以用一套统一的方法计算外法线向量——核心思路就是利用平面内的向量叉乘，再结合顶点绕向调整方向就行，完全不用纠结多面体整体是不是凸的。

具体操作步骤 #

• 第一步：找三个不共线的顶点
  拿一个面的顶点序列 ( P_0, P_1, P_2, ..., P_n ) 来说，先挑前三个不共线的点（要是前三个刚好共线，就往后找，毕竟面是平面，肯定有三个不共线的点）。比如咱们选 ( A, B, C ) 这三个点。

• 第二步：计算面内的两个向量
  算出向量 ( \vec{u} = B - A )（也就是从A指向B的向量），再算出 ( \vec{v} = C - A )（从A指向C的向量）。

• 第三步：叉乘得到初始法线
  对这两个向量做叉乘：n = u × v（这里的叉乘是三维向量叉乘）。这时候得到的n是这个面的一条法线，但方向不一定是外法线，得根据顶点绕向调整。

• 第四步：根据绕向调整法线方向
  这里用右手定则来对应关系就很清楚：

  • 如果顶点是沿外法线方向逆时针排列的：把右手四指顺着顶点的顺序弯起来，大拇指指的方向就是外法线方向。如果刚才叉乘得到的n和大拇指方向一致，那它就是外法线；要是方向相反，直接取-n就行。
  • 如果顶点是沿外法线方向顺时针排列的：同样用右手四指顺着顺时针方向弯，大拇指指的是内法线方向，所以外法线就是-n（或者说把叉乘结果反过来）。

  要是你怕搞错，还可以拿面里第四个点验证一下：比如用叉乘得到的法线和第四个点到A的向量做点积，结合绕向判断符号是否正确，但其实只要绕向是明确的，前面的步骤就足够了。

• 第五步：归一化（可选）
  如果你需要单位长度的法线向量，就把n除以它的模长：n_normalized = n / ||n||。

为啥这个方法对非凸多面体也管用？ #

因为这个方法只盯着单个面的平面属性和顶点顺序，完全不涉及整个多面体的凸性判断。非凸多面体的每个面依然是平面，只要你知道这个面的顶点相对于外法线的绕向，就可以独立计算它的外法线——和其他面、整个多面体的形状没啥关系。

要注意的小细节 #

• 一定要选三个不共线的点：要是选了三个共线的点，叉乘结果会是零向量，根本没法用。不过正经的面肯定有三个不共线的顶点，所以放心找就行。
• 绕向规则要明确：你得清楚每个面的顶点是按外法线方向的逆时针还是顺时针排的，要是有的面是逆时针、有的是顺时针，得分别调整符号。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Y. Zhong