如何手动计算10个三维向量数组的两个主成分向量？

没问题！我来一步步教你手动计算这10个三维向量的前两个主成分，全程都是基础线性代数运算，不用依赖任何库，跟着走就行：

1. 数据准备与去中心化 #

首先把你的10个三维向量整理成矩阵：建议按行代表特征（x/y/z），列代表单个样本来排列（比如10个样本就是3行10列的矩阵$X$）。

接下来必须做去中心化操作（这是PCA的关键前提）：

• 分别计算x、y、z三个特征的平均值：$\bar{x} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}x_i$，$\bar{y}$、$\bar{z}$同理
• 用每个样本的特征值减去对应平均值，得到去中心化后的矩阵$X_{centered}$：
  X_centered[p][i] = X[p][i] - mean(p)
  这里p对应x/y/z的行索引，i是第i个样本的列索引。

2. 计算协方差矩阵 #

基于去中心化后的矩阵，计算3×3的协方差矩阵$C$：
协方差矩阵的元素$C_{pq}$表示第p个特征和第q个特征的协方差，计算公式为：
C[p][q] = (1/(10-1)) * sum(X_centered[p][i] * X_centered[q][i] for i in 0..9)

• 除以9是无偏估计，如果你图省事除以10也可以，只是结果会缩放一点，完全不影响主成分的方向
• 对角线元素$C_{pp}$就是对应特征的方差

3. 求解特征值与特征向量 #

这是PCA的核心步骤，需要解协方差矩阵的特征问题：

1. 先解特征方程：$\det(C - \lambda I) = 0$，其中$I$是3×3单位矩阵，解出来的$\lambda$就是特征值
   • 三次方程的解法可以用因式分解或者求根公式，最终会得到3个特征值，按从大到小排序为$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \lambda_3$
2. 对每个特征值$\lambda_k$，解线性方程组：$(C - \lambda_k I)\vec{v} = 0$，得到对应的特征向量$\vec{v}_k$
3. 把每个特征向量单位化：将向量的每个元素除以它的L2范数（也就是向量的长度），确保向量模长为1

4. 提取主成分 #

把特征值从大到小排序后，对应的特征向量就是主成分：

• 最大的特征值$\lambda_1$对应的单位特征向量$\vec{v}_1$，就是第一主成分
• 第二大的特征值$\lambda_2$对应的单位特征向量$\vec{v}_2$，就是第二主成分

小验证技巧 #

算完后可以简单检查：

• 任意两个主成分向量的点积为0（正交性）
• 三个特征值的和等于协方差矩阵对角线元素的和（迹）
  如果满足这两点，基本说明你算对了！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mustaphos