隐马尔可夫模型30x30网格场景下900维稀疏转移矩阵初始化方法

首先需要完成二维网格到一维隐藏状态的映射，再逐行遍历每个单元格的合法相邻移动方向，最后以稀疏格式存储转移概率，避免存储大量零值造成的内存浪费。相比900x900的稠密矩阵，稀疏存储的内存占用仅为其1%不到，完全匹配该转移矩阵每行最多4个非零值的稀疏结构特征。

• 状态编码规则：将30x30网格中的每个单元格用(row, col)二维坐标表示，row、col取值范围为0-29，对应的一维隐藏状态ID为state_id = row * 30 + col，从0到899连续编号，刚好对应转移矩阵的行、列索引。
• 方向参数映射：提前定义四个移动方向的坐标偏移量与对应概率，固定为：
  • 向上：行偏移-1、列偏移0，对应概率0.4
  • 向下：行偏移+1、列偏移0，对应概率0.1
  • 向左：行偏移0、列偏移-1，对应概率0.2
  • 向右：行偏移0、列偏移+1，对应概率0.3
• 边界合法判断：逐单元格检查每个方向的移动是否会超出网格范围，仅为落在网格内的相邻单元格赋值转移概率。由于边界单元格的部分移动方向会出界，需要补充规则保证每行概率和为1：常见实现是将出界方向对应的剩余概率，全部累计为当前单元格的原地不动转移概率；也可根据业务需求，将剩余概率按比例重新分配给所有合法移动方向。
• 稀疏矩阵构建：先收集所有非零转移项的(行索引, 列索引, 概率值)三元组，再通过坐标格式（COO）构建矩阵，最后转换为CSR格式（适合后续HMM推理中的矩阵乘法操作）。

import numpy as np
from scipy.sparse import coo_matrix, csr_matrix

# 基础参数配置
grid_size = 30
total_states = grid_size * grid_size
# 方向列表：(行偏移, 列偏移, 移动概率)
direction_config = [
    (-1, 0, 0.4),
    (1, 0, 0.1),
    (0, -1, 0.2),
    (0, 1, 0.3)
]

# 存储所有非零元素的索引和取值
row_list = []
col_list = []
prob_list = []

# 遍历所有网格单元（每个单元对应转移矩阵的一行）
for row in range(grid_size):
    for col in range(grid_size):
        current_state = row * grid_size + col
        valid_prob_total = 0.0

        for dr, dc, prob in direction_config:
            next_row = row + dr
            next_col = col + dc
            # 检查移动后是否在网格边界内
            if 0 <= next_row < grid_size and 0 <= next_col < grid_size:
                next_state = next_row * grid_size + next_col
                row_list.append(current_state)
                col_list.append(next_state)
                prob_list.append(prob)
                valid_prob_total += prob

        # 边界概率归一化：将出界方向的剩余概率分配为原地不动的转移概率
        gap_prob = 1.0 - valid_prob_total
        if gap_prob > 1e-8:
            row_list.append(current_state)
            col_list.append(current_state)
            prob_list.append(gap_prob)

# 构建CSR格式稀疏转移矩阵
transition_matrix = coo_matrix(
    (prob_list, (row_list, col_list)),
    shape=(total_states, total_states)
).tocsr()

• 可通过transition_matrix.sum(axis=1)逐行检查概率和，确保每一行的转移概率总和为1，符合转移矩阵的数学要求。
• 若业务场景中不允许原地移动，可将边界处理逻辑替换为概率归一化：即对当前单元格的所有合法方向概率，除以valid_prob_total后再赋值，保证行和为1，无需添加原地不动的转移项。
• 可随机抽查边界单元格（如网格最上方row=0的单元格）的转移项数量，确认向上方向的概率已被正确处理。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anurag Singla