求解递归式T(n)=2T(n/2)+T(n-1)+1的最好与最坏运行时间复杂度

你当前的推导存在多处关键认知偏差，得到的复杂度结论完全不准确。 #

一、原推导的认知偏差 #

1. 混淆了递归树路径深度和时间复杂度的定义 #

时间复杂度统计的是递归展开过程中所有节点的固定开销总和，不是某一条从根到叶节点的路径长度。你默认“递归时可以选择走最快/最慢的分支、仅计算单条路径的开销”，但实际递归执行是所有分支都要完全展开计算的，不存在可选路径的空间。

2. 分支节点的计数逻辑完全错误 #

• 推导的最好情况O(logn)，本质是把沿T(n/2)分支的单链深度（logn层）当成了总节点数。但实际每个T(k)节点会同时生成2个T(k/2)分支，沿这条路径展开到基线条件时，总节点数为：第1层2个节点（规模k=n/2），第2层4个节点（规模k=n/4），…，第logn层共n个节点（规模k=1），仅这部分分支的总节点数就达到O(n)量级，远达不到O(logn)。
• 推导的最坏情况O(n)，本质是把沿T(n-1)分支的单链深度（n层）当成了总节点数。但实际上，这条长路径上的每一个节点，都会额外生成2个半规模的子问题，这些子问题的计算开销是逐层叠加的，总节点数远高于单链的n个。

3. 对最好/最坏复杂度的适用场景误用 #

最好、最坏时间复杂度的差异，来源于算法根据输入特征选择不同的执行路径，存在可观测的开销波动。但你给出的递归关系是完全确定性的定义，无论输入是什么，计算T(n)时都必须同时展开三个子分支，不存在路径选择的空间，本身就没有拆分最好、最坏情况的基础。 #

二、该递归关系的实际复杂度量级 #

因为递归式中T(n-1)项的子问题规模是n-1，远大于T(n/2)的规模n/2，整体递归树的增长会被T(n-1)路径主导：

1. 沿T(n-1)的主路径会形成深度为O(n)的长链，长链上每个节点都会衍生出2个T(k/2)规模的子树；
2. 每棵半规模子树的计算开销又会反过来累加到长链节点的总开销中，最终整体复杂度的增长速度远高于线性O(n)、也高于普通的2^n指数增长。

可以通过几个小数值验算（取T(1)=1，n/2计算时向下取整）：

T(2) = 2*T(1) + T(1) + 1 = 4
T(3) = 2*T(1) + T(2) + 1 = 7
T(4) = 2*T(2) + T(3) + 1 = 16
T(5) = 2*T(2) + T(4) + 1 = 25
T(6) = 2*T(3) + T(5) + 1 = 40
T(7) = 2*T(3) + T(6) + 1 = 55
T(8) = 2*T(4) + T(7) + 1 = 88

可见n=8时总开销已经达到88，是线性值的11倍，n越大这个倍数会快速提升，完全不存在对数级或者线性的可能。 #

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chronollo