如何为非线性方程构造ζ_max关于泊松比的多项式近似解

我正在开发面向开源场景的小型赫兹接触计算工具OpenHertz，需要对Green等人提出的点接触最大剪应力方程做近似适配。该方程的公式示意、常规绘图结果可参考配套的两张参考图，目前已在Maxima符号计算环境中完成的方程实现代码为：
A: (3 / 2 / (1 + zeta^2) - 1 - nu + zeta * (1 + nu) * acot(zeta)) / 2;

变量说明：nu为材料泊松比，zeta为接触方向无量纲深度参数。

当前遇到的求解障碍 #

为定位最大剪应力𝜏_max对应的深度位置，我需要对上述方程关于𝜁求导，对应Maxima代码为：
diff(A, zeta);
之后我尝试直接求解导函数为0时的𝜁取值，所用代码为：
solve(diff(A, zeta), zeta);
但最终返回的符号解是长达数页的复杂表达式，既无法直接集成到轻量化工程软件中使用，也不便于做数值精度校验。

具体目标 #

我希望构造一个如下形式的多项式近似：
𝜁_max = a + b * 𝜈 + c * 𝜈^2 + ...
要求该近似在0 < 𝜈 < 0.5（通用工程材料泊松比区间）、0 < 𝜁 < 1的取值范围内，精度足够接近导函数为0的原方程diff(A, zeta) = 0的精确解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Foad S. Farimani