R语言中矩阵A与向量b相乘操作的名称及标准矩阵记法咨询

核心运算本质 #

描述的操作完全匹配R的向量化回收（广播）规则，底层执行逻辑为：

• 将m×1的列向量b沿列方向自动复制，补成和A维度完全一致的m×n矩阵（每一列的值都与原b完全相同）
• 对补全后的矩阵与原矩阵A执行逐元素位置的乘法，最终得到同维度的m×n结果。

常用统一名称 #

这个操作没有脱离实现场景的完全通用的正式命名，不同语境下的常见指代包括：

• 行缩放（Row Scaling）：是对这个操作最直观、物理意义最明确的称呼——运算的最终效果，等价于对矩阵A的第i行所有元素，统一乘上b中第i个位置的标量值，完全匹配“用b作为行缩放因子调整矩阵”的实际作用。
• 列广播哈达玛乘：是偏数学定义层面的称呼，明确说明底层核心是哈达玛积（逐元素乘法），且包含了沿列方向自动复制向量补全维度的广播规则，避免和原生同维度哈达玛积混淆。
• R风格逐元素乘法：是编程语言语境下的俗称，用来和R中代表线性代数矩阵乘法的%*%操作做明确区分。

标准数学记号写法 #

严格按照线性代数的记号规范，需要把广播补全的过程明确写出，不能直接对不同维度的矩阵和向量套用哈达玛积符号：

1. 首先构造一个每一列都等于列向量b的m×n矩阵：将列向量b与长度为n的全1行向量1_n^T做外积，得到的结果就是每一列值都和原b完全一致的同维度矩阵。
2. 把这个补全后的矩阵和A做哈达玛积，整个运算的结果就可以记为 A ⊙ (b 1_n^T)，其中⊙是哈达玛积（逐元素乘）的标准符号。这个记号展开后对任意矩阵位置(i,j)的元素都满足 结果[i,j] = A[i,j] * b[i]，和描述的运算规则完全匹配。

注意：不要直接将该运算写为A ⊙ b，因为按哈达玛积的严格定义，只有维度完全相同的两个矩阵才能执行逐元素乘法，m×n矩阵和m×1列向量不满足这个前置条件，直接套用符号会产生歧义。也不要和列缩放操作混淆：如果参与逐元素乘的向量是长度为n的同维度向量，最终效果是对矩阵每一列做缩放，才是列缩放，二者的缩放方向完全不同。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者CFD