求解与给定球体S在(4,3,4)点相切的二维平面隐式表示方法

核心依据 #

球体切平面的本质几何特征：任意切平面与过切点的球体半径互相垂直。

分步求解流程 #

• 提取球面基础参数，验证切点有效性
  题目给出的球面方程可改写为标准形式 $(x-1)^2 + (y-2)^2 + z^2 = 26$，对比标准球面方程 $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$ 的结构，直接得到：
  • 球心坐标为 $C(1,2,0)$
  • 球面半径平方为 $R^2=26$
    将待求切平面的接触点 $(4,3,4)$ 代入球面方程左侧计算：$(4-1)^2 + (3-2)^2 + 4^2 = 9 + 1 + 16 = 26$，与方程右侧相等，证明该点在球面上，满足切平面的几何前提。
• 计算切平面的法向量
  由于半径方向与切平面垂直，从球心指向切点的向量即为切平面的法向量。计算该向量：$\overrightarrow{CP} = (4-1, 3-2, 4-0) = (3,1,4)$，此向量可直接作为切平面的法向。
• 代入平面点法式公式推导隐式方程
  平面点法式的通用规则：若平面经过点 $(x_0,y_0,z_0)$，且法向量为 $(A,B,C)$，则平面的隐式表达式为 $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$。
  代入本题的切点坐标与法向量：
  $3(x-4) + (y-3) + 4(z-4) = 0$
  展开整理为标准隐式形式，可得最终切平面方程：
  $3x + y + 4z - 31 = 0$

结果校验方案 #

可使用隐式曲面切平面的通用偏导公式交叉验证：
对于任意隐式曲面 $F(x,y,z)=0$，其在曲面上某点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面满足关系：
$F_x|{(x_0,y_0,z_0)}(x-x_0) + F_y|{(x_0,y_0,z_0)}(y-y_0) + F_z|_{(x_0,y_0,z_0)}(z-z_0) = 0$
其中 $F_x、F_y、F_z$ 分别为隐式函数 $F$ 对三个坐标分量的偏导数。
本题中取 $F(x,y,z)=(x-1)^2 + (y-2)^2 + z^2 - 26$，代入切点计算偏导取值：

• 对x的偏导：$F_x=2(x-1)$，在切点处取值为 $2\times(4-1)=6$
• 对y的偏导：$F_y=2(y-2)$，在切点处取值为 $2\times(3-2)=2$
• 对z的偏导：$F_z=2z$，在切点处取值为 $2\times4=8$
  代入公式得到的切平面方程，与几何方法推导的结果完全一致，可确认结果正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tom