相机与投影机构建立体系统的标定及虚拟相机设置技术咨询

嘿，很高兴你已经确认了这套投影-相机立体视觉方案的可行性！咱们来逐个拆解你的问题：

你的推导不正确，核心问题出在符号混淆、遗漏关键项以及矩阵维度不匹配上，咱们对照标准推导理清楚：

首先明确几个前提约定（和你设定的一致）：

• 投影仪被当作虚拟相机，内参( \mathbf{K} )设为单位矩阵
• 真实相机内参为( \mathbf{K}' )
• 从投影仪坐标系到真实相机坐标系的变换为：真实相机下的3D点 ( \mathbf{P} = \mathbf{R} \mathbf{P}_p + \mathbf{t} )（( \mathbf{R} )是旋转矩阵，( \mathbf{t} )是平移向量）

标准的基础矩阵推导流程是：

1. 本质矩阵( \mathbf{E} = [\mathbf{t}]\times \mathbf{R} )，其中( [\mathbf{t}]\times )是平移向量( \mathbf{t} )对应的反对称矩阵，这是极线约束的核心项，你的推导里完全没提到它
2. 像素点和归一化平面点的转换：投影仪虚拟像素点( \mathbf{x}_p )对应的归一化点是( \mathbf{K}^{-1}\mathbf{x}_p = \mathbf{x}_p )（因为K是单位阵）；真实相机像素点( \mathbf{x}_c )对应的归一化点是( \mathbf{K}'^{-1}\mathbf{x}_c )
3. 本质矩阵满足归一化点的约束：( \mathbf{x}'_n{}^T \mathbf{E} \mathbf{x}_n = 0 )，代入像素点转换关系后，就能推导出基础矩阵：

   \mathbf{F} = \mathbf{K}'^{-T} \mathbf{E} \mathbf{K}^{-1}
   

   因为K是单位阵，简化后是( \mathbf{F} = \mathbf{K}'^{-T} [\mathbf{t}]_\times \mathbf{R} )

再看你的推导表达式( \mathbf{F} = \mathbf{K}''.\mathbf{R}.[\mathbf{R}'|\mathbf{t}]*\mathbf{I}' )：

• ( [\mathbf{R}'|\mathbf{t}] )是3×4的外参矩阵，和3×3的旋转矩阵( \mathbf{R} )相乘后得到3×4矩阵，没法和3×3的( \mathbf{K}'' )（你定义的( \mathbf{K}' )转置）相乘得到3×3的基础矩阵，维度完全不匹配
• 你用了( \mathbf{K}' )的转置，但标准推导里是( \mathbf{K}' )逆的转置（( \mathbf{K}'^{-T} )），真实相机内参包含焦距、主点等参数，不是正交矩阵，所以两者完全不等价
• 最关键的是遗漏了本质矩阵里的反对称平移项( [\mathbf{t}]_\times )，没有它就无法表达极线约束的核心几何关系

单独的极线平方距离不能直接得到目标的距离和姿态，但它是个有用的辅助指标：

• 极线平方距离本质是衡量“真实图像点是否落在对应虚拟相机点的极线上”的残差，用来验证对应点的准确性，或者在标定优化过程中作为损失函数来调整内参、外参的精度
• 要获取目标表面的距离（深度）和相对姿态，你需要：
  • 先通过基础矩阵( \mathbf{F} )分解得到本质矩阵( \mathbf{E} )，再从( \mathbf{E} )中分解出旋转矩阵( \mathbf{R} )和平移向量( \mathbf{t} )
  • 结合真实图像中检测到的图案点，以及对应的投影仪虚拟网格点，通过三角化计算这些点的3D坐标
  • 最后从3D点云里拟合出目标表面的距离和相对系统的姿态

简单说，极线距离是用来“校验”或“优化”的工具，但真正能得到距离和姿态的是三角化和外参分解的组合。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ebya