求解同时满足三项给定条件的三维空间向量𝒘⃗

设待求向量$\boldsymbol{w} = \langle x, y, z \rangle$，依次将三个约束条件转化为代数方程联立求解。

约束条件对应的代数关系 #

• 约束a：向量模长为10，根据三维向量模长公式可得：$x^2 + y^2 + z^2 = 100$
• 约束b：与向量$\langle 3, -1, 0 \rangle$垂直，根据两向量垂直时点积为0的规则，计算点积得：$3x - y = 0$，即$y = 3x$
• 约束c：与向量$\langle 0, 0, 1 \rangle$夹角为$\pi/3$，根据向量夹角余弦公式$\cos\theta = \frac{\boldsymbol{w}\cdot\langle0,0,1\rangle}{|\boldsymbol{w}|\cdot|\langle0,0,1\rangle|}$，代入$\cos(\pi/3)=0.5$、$|\langle0,0,1\rangle|=1$、$|\boldsymbol{w}|=10$，可得：
  $0.5 = \frac{z}{10 \times 1}$，解得$z = 5$

联立方程求解分量 #

将已得到的$y=3x$、$z=5$代入模长方程：

1. 代入后展开计算：$x^2 + (3x)^2 + 5^2 = 100$
2. 整理方程：$10x^2 +25 =100 \implies x^2 = 7.5 = \frac{15}{2}$
3. 得到x的两个实数解：$x = \frac{\sqrt{30}}{2}$ 或 $x = -\frac{\sqrt{30}}{2}$
4. 对应求解y分量：根据$y=3x$，可得两个对应的y值：$y = \frac{3\sqrt{30}}{2}$ 或 $y = -\frac{3\sqrt{30}}{2}$

全部符合条件的向量 #

满足所有约束的三维向量共2个：

• $\langle \frac{\sqrt{30}}{2}, \frac{3\sqrt{30}}{2}, 5 \rangle$
• $\langle -\frac{\sqrt{30}}{2}, -\frac{3\sqrt{30}}{2}, 5 \rangle$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Llini