《Think Python》Ex-4.1：arc函数预左转降线性近似误差的原理疑问

对应Allen Downey实现的核心代码片段如下：

def arc(t, r, angle):
    arc_length = 2 * math.pi * r * angle / 360
    n = int(arc_length / 3) + 1
    step_length = arc_length / n
    step_angle = angle / n
    
    t.lt(step_angle/2)  # 绘制前的半角左转
    polyline(t, n, step_length, step_angle)
    t.rt(step_angle/2)  # 绘制后的半角右转回正

无预旋转操作的固有近似偏差 #

直接调用polyline从圆弧起点的切线方向开始绘制折线时，存在两个无法通过单纯缩小步长抵消的系统性问题：

• 方向偏差：每段折线的运动方向默认和圆弧起点切线对齐。单段圆弧对应的中心角为step_angle，切线方向从段起点到段终点会逐步偏转step_angle，段中点位置的真实切线方向，会比段起点的切线方向偏step_angle/2。直接从起点方向开始画的话，每段折线的方向会比对应分段的真实切线方向滞后step_angle/2，整段折线的平均方向误差达到step_angle/2。
• 位置偏差：此时生成的折线链本质是内接于目标圆弧的正多边形边，所有边都位于圆弧内侧，径向偏差方向固定向内，相邻段的偏移无法抵消，连续绘制下来会让整体轮廓比目标圆弧的半径偏小一圈，折角的凸起感非常明显。

半角预旋转的误差修正逻辑 #

在绘制前提前左转step_angle/2，相当于把整条折线的运动方向整体提前偏转半个步长角度，从根源上修正上述偏差：

• 方向精度提升：偏转半角之后，每一段折线的运动方向刚好和对应圆弧分段的中点切线方向对齐，每段的最大方向偏差从原来的step_angle/2降低为0，整段折线的平均方向误差直接减半。
• 位置误差无累积：此时折线段的边中点刚好落在目标圆弧上，折线的顶点会略微突出到圆弧外侧。相邻段的径向偏差方向交替（边中点贴合圆弧，顶点略外凸），不会出现同方向向内的累积偏移，同等步长下的整体径向误差比未偏移的内接多边形小一个量级，视觉上的圆弧平滑度会明显提升。
• 朝向匹配保证连续性：绘制完成后执行右转step_angle/2回正，是为了抵消预旋转引入的半角朝向偏差，保证画完圆弧后，Turtle的最终朝向和真实圆弧终点的切线方向完全对齐，不会给后续绘制引入角度偏移。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tarun Gupta