Python逐位逼近法计算根号2时，为何增大迭代次数仍仅得13位精度

代码运行到第13位小数就卡住，本质是Python内置float类型的精度天花板限制：

• Python默认的float是符合IEEE 754标准的64位双精度浮点数，依靠二进制结构存储数值，能可靠表示的有效十进制数字仅为15~17位
• 代码中每次拼接数字后都会通过float(str(x)+str(number))把字符串转成浮点数，当拼接的字符串长度超过float的有效精度上限时，转出来的数值会被自动舍入，和你实际拼接的十进制值已经存在偏差
• 后续基于这个被舍入的近似值计算平方、筛选最大可选数字时，输入值本身就不准，自然无法准确判断更高位的数字该选什么
• 这个精度天花板和循环次数无关，哪怕把循环范围调到大几百次，只要底层还是用float存数值，结果就永远卡在13位左右的精度水平。

方法1：用任意精度整数做运算，彻底规避浮点数误差 #

Python的整数是无长度限制的任意精度类型，不存在存储溢出、舍入的问题。我们可以把所有小数放大为整数做比较，完全跳过浮点数转换环节：
比如把当前的近似值1.4142表示为整数14142，对应它是原数乘以10^4的结果。每次迭代要拼接的下一位数字k，等价于把整数更新为x_int *10 +k，此时只需要把原不等式做整数等价变形，就能完全精确判断是否满足条件：

# 初始值对应1.4，即14 / 10^1，共1位小数
x_int = 14
decimals = 1
# 这里的循环次数就是要计算的小数位数，想算多少就设多少
for _ in range(50):
    # 从9倒序找最大的满足条件的数字，比遍历收集候选效率更高
    for k in range(9, -1, -1):
        new_int = x_int * 10 + k
        # 原判断式：(new_int / 10^(decimals+1))² < 2
        # 两边同乘10^(2*(decimals+1))，得到无浮点的整数比较式
        if new_int * new_int < 2 * (10 ** (decimals + 1)) ** 2:
            x_int = new_int
            decimals += 1
            break
# 把整数还原为带小数点的字符串输出
result = f"{str(x_int)[0]}.{str(x_int)[1:]}"
print(result)

这种方法算到几百、上千位的精度都不会出现误差。

方法2：使用标准库decimal的任意精度十进制数 #

如果不想手写整数转换逻辑，可以直接用Python自带的decimal模块，它支持自定义精度的十进制浮点数。只要提前把全局精度设置成你需要的位数，全程用Decimal类型替代普通float做运算，就能避免精度被锁死的问题。
注意初始化Decimal值时，要直接用数字字符串初始化，不要先把字符串转成普通float再转Decimal，否则还是会继承普通float的精度误差。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者HAECHANG YUN