Wolfram Alpha与MATLAB传递函数绘图差异及180°相移全通IIR滤波器系数获取方法

你当前的实现偏差本质是混淆了连续s域和离散z域的传递函数定义边界：

• 你要做的数字IIR滤波器，所有MATLAB函数（zp2tf、freqz、fvtool）都是针对z域离散系统设计的，输入参数直接对应z平面的零极点坐标，和连续s域的坐标体系没有直接映射关系。
• 你代码里把s域的零极点（s=-1、s=1）直接当作z域的零极点填进去，相当于在z平面配置了零点z=-1、极点z=1的离散系统。其中极点z=1正好落在单位圆上的直流频率点，会导致频响在直流位置幅值发散，完全不符合全通滤波器幅频平坦的特性，和Wolfram Alpha计算的连续系统伯德图自然无法对齐。
• Wolfram Alpha输出的伯德图，是将s域表达式代入s=jω得到的连续系统频率响应，属于连续域的计算结果，和你MATLAB里搭建的离散域系统不是同一对象，绘图结果存在差异是必然的。

要得到和Wolfram特性匹配、且可稳定用C语言实现的数字全通IIR滤波器，需要按离散系统的规则重新配置零极点：

• 先满足可实现IIR的基本要求：所有极点必须落在z平面单位圆内（保证系统稳定，运行不发散）。一阶全通滤波器的零极点天然满足关于单位圆镜像对称的关系——如果极点配置在z=a（|a|<1），对应的零点一定在z=1/a（单位圆外），此时调整增益可以做到全频域幅频响应恒定，匹配全通特性。
• 匹配目标相位特性：你要的“从直流到奈奎斯特频率总相移180度”的一阶全通，不需要生硬照搬s域的零极点坐标，只需要选择一个稳定的单位圆内极点位置（比如a=0.5，可根据你需要的相位随频率的变化速率调整a的大小），对应的z域配置为：
  • 极点：z=a = 0.5（落在单位圆内，保证稳定）
  • 零点：z=1/a = 2（和极点关于单位圆镜像，保证全通）
  • 增益：k=-a = -0.5（保证直流点响应为1、相位为0，全频域幅频响应平坦为1，相位随频率升高从0连续变化到180度）
• 替换MATLAB代码中的参数：
  把原来代码里的三行参数：

  z = [-1];                  %zeros
  p = [1];                   %poles
  k = 1;                     %gain
  

  替换为上述匹配全通特性的参数，再运行zp2tf转换系数、调用freqz绘图，得到的结果就会是幅频全程平坦、相位随频率从0连续变化到180度的全通特性，和Wolfram Alpha上的曲线趋势完全一致。

从fvtool导出滤波系数时，记得把传递函数整理为z的负幂次标准形式H(z) = (b0 + b1*z^{-1})/(1 + a1*z^{-1})，对应的差分方程为：
y[n] = b0*x[n] + b1*x[n-1] - a1*y[n-1]
这个形式可以直接映射为C语言的逐点计算逻辑，不需要额外转换。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Semmelrinde