技术问询：求解4个轴对齐矩形的覆盖总面积

嘿，别着急，我来帮你把这个需求掰扯得明明白白的！

首先，先明确几个基础概念：

• 轴对齐矩形：就是矩形的四条边分别平行于x轴和y轴的矩形，你可以把每个矩形用两个坐标点来定义，比如用左下角(x_left, y_bottom)和右上角(x_right, y_top)来描述，只要保证x_right > x_left、y_top > y_bottom就行。
• 覆盖区域面积：核心是计算所有被这4个矩形中任意一个覆盖到的区域的总面积——重点是，重叠的部分只能算一次！比如两个矩形交叠了一块区域，这块区域不能因为被两个矩形覆盖就加两次面积，只算一次。

举个简单例子帮你理解：

假设你有两个矩形，每个面积都是10，它们有3个单位的重叠区域。那直接把两个面积加起来是20，但实际覆盖区域的面积是10+10-3=17，因为重叠的3被多算了一次，得减掉。

那针对4个矩形的情况，我们需要用到容斥原理来计算，公式是这样的：

总面积 = 单个矩形面积之和 
        - 每两个矩形重叠面积之和 
        + 每三个矩形重叠面积之和 
        - 四个矩形重叠面积之和

翻译成更直观的表达式就是：
Area = A1+A2+A3+A4 - (A1∩A2 + A1∩A3 + A1∩A4 + A2∩A3 + A2∩A4 + A3∩A4) + (A1∩A2∩A3 + A1∩A2∩A4 + A1∩A3∩A4 + A2∩A3∩A4) - A1∩A2∩A3∩A4

这里的A1∩A2代表矩形1和矩形2的重叠区域面积，以此类推。

怎么计算两个矩形的重叠面积？ #

对于任意两个轴对齐矩形R1(x1, y1, x2, y2)和R2(x3, y3, x4, y4)：

1. 先找重叠部分的x范围：max(x1, x3) 到 min(x2, x4)
2. 再找重叠部分的y范围：max(y1, y3) 到 min(y2, y4)
3. 如果max(x1,x3) < min(x2,x4) 且 max(y1,y3) < min(y2,y4)，说明两个矩形有重叠，面积就是 (min(x2,x4)-max(x1,x3)) * (min(y2,y4)-max(y1,y3))
4. 否则，两个矩形不相交，重叠面积为0

三个或四个矩形的重叠面积计算逻辑类似：找所有矩形共同的x、y范围，只要这个范围是有效的（左边界<右边界，下边界<上边界），就计算面积，否则为0。

完整计算步骤总结 #

1. 计算每个矩形的面积，把它们加起来得到S1
2. 计算所有两两矩形的重叠面积，加起来得到S2，用S1 - S2得到中间结果
3. 计算所有三个矩形的重叠面积，加起来得到S3，把中间结果加上S3
4. 计算四个矩形的重叠面积S4，用第三步的结果减去S4，最终得到的就是你要的覆盖区域面积

内容的提问来源于stack exchange，提问作者daeril