关于链式取模运算n=p%q%r的最大值求解及结论验证

首先来解决第一个问题：已知 p > q > r 均为正整数，n = (p % q) % r 的最大可能取值是多少？

答案很明确：r - 1。我们可以通过构造具体数值验证这个结论：

• 因为 r < q，所以 r - 1 必然小于 q（毕竟 r ≤ q - 1，推导可得 r - 1 ≤ q - 2 < q）。
• 只需取 p = q + (r - 1)，此时 p % q = r - 1，再对 r 取模就得到 (r - 1) % r = r - 1，完全满足 p > q > r 的条件。

接下来看第二个问题：“无论 (p % q) 的值是多少，n的最大值仅为 r-1，这个结论是否正确？”

这个结论完全正确。原因来自模运算的基本性质：对于任意整数 a 和正整数 m，a % m 的结果范围是 0 ≤ a % m < m。这里 (p % q) 是一个小于 q 的非负整数，对 r 取模后结果必然小于 r，所以最大可能取值就是 r - 1，而且我们刚才的构造已经证明这个值是可以实际达到的，不存在更大的可能。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者lefatohy