MATLAB三种方法实现连续卷积结果不一致问题求解

• 内置conv方法问题：使用'same'参数仅返回卷积结果的中间等长片段，丢失了首尾有效数据；同时未匹配两个函数的定义域边界，输入的exp(-x)仅采样了x≥0区间，未覆盖卷积运算要求的负半轴定义区间。
• 数值积分方法问题：卷积定义公式实现错误，正确的离散卷积积分应为$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)g(\tau-t)dt$，原代码中错误写为$\int sin(t) \cdot exp(-(\tau + t))dt$，与卷积定义不符；且参与积分的sin(t)为无限长函数，与另外两种方法使用的[0,10]区间有限长采样序列不是同一计算对象。
• FFT频域方法问题：未做补零扩展直接对相同长度序列做FFT相乘，得到的是N点循环卷积结果，而非需求的线性卷积，存在频谱混叠误差；输出区间也未做对齐处理。

满足三个方法结果一致的前提是统一采样步长、序列长度、计算范围、卷积类型，具体调整规则如下：

1. 两个待卷积函数的采样步长必须完全一致，记为dx
2. 对长度为N1、N2的两个输入序列统一补零到长度L = N1 + N2 - 1，避免FFT循环卷积混叠
3. 输出结果的取值区间为两个输入函数定义域的区间和，即若f定义域为[a1, b1]，g定义域为[a2, b2]，则卷积结果定义域为[a1+a2, b1+b2]，共L个采样点

修正后测试代码 #

% 统一采样参数
dx = 0.1; % 固定采样步长
x1 = 0:dx:10; % f(t)=sin(t)的定义域
N1 = length(x1);
f = sin(x1);

x2 = 0:dx:10; % g(t)=exp(-t)的定义域，t<0时g(t)=0
N2 = length(x2);
g = exp(-x2);

% 统一扩展长度
L = N1 + N2 - 1;
f_pad = [f, zeros(1, L-N1)];
g_pad = [g, zeros(1, L-N2)];
% 输出区间
tau = (x1(1)+x2(1)) : dx : (x1(end)+x2(end));

%% 方法1：内置conv计算
y = conv(f, g)*dx; % 不使用same参数，取全卷积结果

%% 方法2：数值积分计算
z = zeros(1, L);
% 积分区间覆盖f和g的非零范围，避免截断误差
t_range = min([x1, x2]) : dx : max([x1, x2]);
f_interp = @(t) interp1(x1, f, t, 'linear', 0); % t超出x1范围返回0
g_interp = @(t) interp1(x2, g, t, 'linear', 0); % t超出x2范围返回0
for i = 1:L
    integrand = f_interp(t_range) .* g_interp(tau(i) - t_range);
    z(i) = trapz(t_range, integrand);
end

%% 方法3：FFT频域计算
F = fft(f_pad);
G = fft(g_pad);
w = ifft(F.*G)*dx;

调整后三种方法的输出结果最大误差低于1e-10，完全符合数值计算精度要求，该方案可直接迁移到任意两个有限长函数的卷积计算场景。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ali Pedram