为什么lambda演算表达式(( (λf.λx.f(f(f(x)))) (λg.λy.g(g(y))) ) (λz.z + 1)) (0)结果为8

核心错误原因 #

你之前的推导混淆了邱奇数的应用逻辑：邱奇数之间的应用运算本质是函数幂次的嵌套，而非次数的乘法。n m（邱奇数n应用到邱奇数m上）的结果不是n*m，而是m^n，对应函数复合次数为m的n次方。

逐步β归约过程 #

我们对原表达式(( (λf.λx.f(f(f(x)))) (λg.λy.g(g(y))) ) (λz.z+1)) (0)做分步归约：

1. 首先定义几个中间函数方便指代：
   • F3 = λf.λx.f(f(f(x)))：邱奇数3，语义是将输入函数f对输入参数x重复应用3次
   • F2 = λg.λy.g(g(y))：邱奇数2，语义是将输入函数g对输入参数y重复应用2次
   • succ = λz.z+1：加1函数
2. 第一步归约：将F2作为参数代入F3的f参数
   得到结果：λx. F2(F2(F2(x)))
   这里的x是后续要传入的函数，不是数值参数，这是你之前推导错误的核心节点：你误以为这里的f是直接作用在数值上，实际这里f作用的对象是函数
3. 第二步归约：将succ作为参数代入上式的x参数，即计算F2(F2(F2(succ)))：
   • 最内层计算：F2(succ) = λy. succ(succ(y)) → 等价于加2函数
   • 中间层计算：F2(F2(succ)) = λy. (F2(succ))(F2(succ)(y)) → 加2函数重复2次，等价于加4函数
   • 最外层计算：F2(F2(F2(succ))) = λy. (F2(F2(succ)))(F2(F2(succ))(y)) → 加4函数重复2次，等价于加8函数
4. 第三步归约：将0代入最终得到的加8函数，结果为0+8=8

规则验证 #

邱奇数的应用运算满足规则：对任意邱奇数m、n，n m = m^n，本次计算中就是3 2 = 2^3 =8，和归约结果完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A-P