如何通过pytest测试？一阶/二阶导数计算误差问题的修改方案

首先得搞清楚，你用的中心差分法误差来自两方面：截断误差（泰勒展开近似带来的，阶数是O(h²)）和舍入误差（浮点数精度限制导致的，h太小的时候，f(x+h)和f(x-h)的差值会因为精度丢失而失真）。你当前的h取值要么过小（一阶导数的1e-10）要么不够最优（二阶导数的1e-4），才导致误差达不到测试要求。

具体修改方案 #

• 一阶导数的中心差分：把h调整为1e-5（双精度浮点数下的最优h区间），这个值能平衡截断和舍入误差，让误差降到1e-13以下。
• 二阶导数的中心差分：把h调整为1e-6，可以把误差控制在1e-14以内。

修改后的代码示例 #

def error_5_1_11(x):
    def f(x):
        return x ** 3 - 0.3 * x ** 2 - 8.56 * x + 8.448
    def f_1(f, x, h=1e-5):  # 调整h到1e-5
        return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)
    def f_2(f, x, h=1e-6):  # 调整h到1e-6
        return (f(x + h) - 2 * f(x) + f(x - h)) / h ** 2
    return f_1(f, x)-(-8.56), f_2(f, x)-(-0.6)

为什么这样调整？ #

• 当h取1e-10时，x+h和x在双精度浮点数里几乎没法区分（双精度精度约为1e-16），计算f(x+h)-f(x-h)时会丢失大量有效数字，舍入误差暴增，结果反而偏离真实值。
• 二阶导数用1e-4时，截断误差还不够小，调到1e-6后，截断误差和舍入误差都能被控制在测试要求的范围内。

另外，也可以改用更贴合数值计算的断言方式（可选），比如用numpy.allclose替代直接判断绝对值：

def test_error():
    a, b = error_5_1_11(0)
    assert allclose(a, 0, atol=1e-13) and allclose(b, 0, atol=1e-14)

不过只要调整好h的值，原测试也能顺利通过。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ziming Wang