不使用内置函数计算平方根时x=(x + n/x)/2迭代公式的原理是什么

你给出的代码是牛顿迭代法求解平方根的经典实现，核心迭代逻辑解释如下：

相关代码回顾 #

double n = 50, x = 1, last_x = 1;
do {
    last_x = x;
    System.out.println(last_x);
    x = (x + n / x) / 2;
} while (last_x != x);
System.out.println("Result: " + x);

迭代公式的赋值逻辑 #

这个公式来自牛顿-拉夫逊迭代法，目标是求解方程 x² = n 的正实根（也就是n的平方根）：

1. 我们要找的平方根s满足 s = n/s，如果当前的迭代值x比s大，那么n/x就会比s小，反之如果x比s小，n/x就会比s大
2. 迭代步骤相当于取x和n/x的算术平均值，每次迭代都会把两个分别大于、小于真实平方根的数做平均，得到的结果会比原来的x更接近真实的s
3. 从数学推导的角度看：我们把求平方根转化为求函数 f(x) = x² - n 的零点，对f(x)求导得导数为 2x，代入牛顿迭代的通用公式 x_{k+1} = x_k - f(x_k)/f'(x_k)，整理后就刚好得到 x = (x + n/x)/2

选择该公式的原因 #

• 收敛速度极快：对双精度浮点数来说，通常只要6-7次迭代就能达到精度上限，哪怕初始值选的比较差，收敛速度也远高于二分法等其他求根方案
• 实现成本极低：只用到四则运算，不需要依赖任何数学内置函数，完全符合你不使用Math.sqrt()的需求
• 精度判断简单：当两次迭代的x值完全相等时，说明已经达到了双精度浮点数能表示的最精确结果，直接停止迭代即可

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Linh Đàm