如何在Python中实现自定义标准差区间占比的正态分布采样

你要求的标准差区间占比和标准正态分布固有分位特性不符，因此采用逆变换采样方案实现，具体内容如下：

实现思路 #

• 先根据要求的区间占比定义离散分位点映射：
  • ±1σ区间占比50% → 累积概率0.25对应-1σ，0.75对应1σ
  • ±2σ区间占比82% → 累积概率0.09对应-2σ，0.91对应2σ
  • ±3σ区间占比96% → 累积概率0.02对应-3σ，0.98对应3σ
• 对离散分位点做线性插值，得到连续的分位到样本值的映射关系
• 均匀采样[0,1]区间的随机值，通过映射关系转换得到符合要求的样本

完整代码实现 #

import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d

# 预定义分位点和对应的标准差倍数
quantiles = np.array([0.02, 0.09, 0.25, 0.5, 0.75, 0.91, 0.98])
std_multiples = np.array([-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3])

# 构建插值函数，extrapolate用于处理3σ以外的采样值
quantile_to_std = interp1d(quantiles, std_multiples, kind='linear', fill_value="extrapolate")

def custom_normal_sample(mean: float = 0, std: float = 1, size: int = 1) -> np.ndarray:
    """
    自定义分位的正态类分布采样函数
    参数:
        mean: 采样分布的均值，默认0
        std: 采样分布的标准差，默认1
        size: 输出样本的数量，默认1
    返回:
        符合指定分位占比的样本数组
    """
    # 均匀采样分位值
    rand_quantiles = np.random.uniform(0, 1, size=size)
    # 映射为标准差倍数，再缩放平移到指定均值和标准差
    samples = mean + quantile_to_std(rand_quantiles) * std
    return samples

# 测试验证代码
if __name__ == "__main__":
    # 采样10000个样本，均值10，标准差2
    test_samples = custom_normal_sample(mean=10, std=2, size=10000)
    # 统计各区间占比
    within_1std = np.mean(np.abs(test_samples - 10) <= 2)
    within_2std = np.mean(np.abs(test_samples - 10) <= 4)
    within_3std = np.mean(np.abs(test_samples - 10) <= 6)
    print(f"±1σ区间占比: {within_1std:.2%}")
    print(f"±2σ区间占比: {within_2std:.2%}")
    print(f"±3σ区间占比: {within_3std:.2%}")

补充说明 #

• 代码依赖numpy和scipy，可通过pip install numpy scipy安装依赖
• 3σ外的采样采用线性外推得到，如果你需要限制采样范围不超过±3σ，可将fill_value参数改为(-3, 3)并设置bounds_error=False
• 如果需要更平滑的分布曲线，可在现有分位点之间补充更多自定义映射点，插值方法也可更换为spline等非线性插值方式

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Amit Bharadwa