Mathematica三次正根求解代码逻辑及abs、arg变量作用咨询

你提供的PositiveCubicRoot[p_, q_, r_]是用来求解首一三次多项式(x^3 + px^2 + qx + r = 0)正实根的工具函数，基于卡尔达诺三次方程求根公式实现，同时兼容判别式为负的不可约情形，通过三角解法规避了复数运算。

• 第一步：定义消参变量po3 = p/3，对应三次方程消去二次项的替换参数，会通过(x = t - p/3)的变量替换，把原三次方程转换为不含二次项的简约三次方程
• 第二步：计算简约三次方程的两个核心系数a、b
• 第三步：计算三次方程判别式det = a^3 + b^2，判别式的符号直接决定三次方程的实根数量：det≥0时仅存在1个实根，det<0时存在3个不同实根
• 第四步：根据判别式结果分支计算实根：
  • 若det ≥ 0：直接使用卡尔达诺代数公式计算唯一实根，计算完成后直接返回根值
  • 若det < 0：属于三次方程的不可约情形，直接使用代数公式会出现复数开方运算，因此切换为三角解法计算实根，最终返回计算得到的正实根

这两个变量仅在det<0的三角解法分支中使用：

• abs为三角解法的模长参数，会经过三次更新：
  1. 第一次赋值abs = Sqrt[-a^3]，是三角形式下的初始模长
  2. 第二次赋值abs = Power[abs, 1/3]，对模长做三次开方处理
  3. 第三次赋值abs = (abs - a/abs)，得到后续余弦项的系数
• arg为三角解法的幅角参数，最后会被复用为最终根结果：
  1. 第一次赋值arg = ArcCos[-b/abs]，计算三角形式下的初始幅角，取值范围固定在[0, π]，保证后续计算得到的是正实根
  2. 第二次赋值arg = -po3 + abs*Cos[arg/3]，这一步已经完成最终实根的计算，直接把变量名复用为返回的根值

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mogine Showey