归并排序算法中公式(log₂N + 1)×6N里的+1项含义是什么

归并排序公式中+1项的来源 #

这个+1是通用上界公式的修正项，和两种计数逻辑的差异有关，具体原因如下：

• 取整逻辑的适配
  你举的N=4这类2的整数次幂的场景属于特例，实际使用中N不一定是2的整次幂，这时候实际合并层数是ceil(log₂N)（向上取整后的对数结果），而ceil(log₂N) ≤ log₂N + 1对所有正整数N都成立。加1之后可以不用额外写向上取整符号，就能保证公式给出的运算量上界对所有N都有效，哪怕N=1的时候，log₂1=0，加1得到的6*1*1=6也刚好匹配不需要排序的常数开销。
• 层数计数方式的差异
  不少教材统计归并排序递归树层数的时候，会把最底层的叶子节点（长度为1的子数组层）也算入总层数，这时候总层数就是log₂N +1。虽然合并操作只发生在相邻两层之间，实际次数是总层数减1，但作为复杂度上界估算的时候，直接用总层数乘以每层最大6N的运算量，误差可以忽略，也能简化公式书写，不需要额外做减1处理。

对于你举的N=4的2次幂特例，这个+1确实是冗余的，实际运算量就是log₂N *6N，带+1的公式只是为了适配所有场景的通用上界表达，并不代表真的多了一层合并操作。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ahmed