numpy Polynomial.roots()返回虚假根的原因及解决方法咨询

这个问题核心是多项式系数病态导致的浮点计算误差，你提供的三次多项式系数动态范围超过16个数量级（常数项≈4，最高次项系数≈-4e16），numpy的Polynomial.roots()底层采用伴随矩阵特征值求解的方法，对这类系数量级差异过大的病态多项式稳定性极差，会产生完全不符合实际的虚假根，你得到的-1.6e9量级的根就是典型的浮点计算赝像。

• 方案1：多项式归一化缩放
  对系数做归一化处理，或者通过变量代换将根的预期量级压缩到1附近，大幅降低系数动态范围，再执行求根操作，可显著提升计算稳定性。
• 方案2：改用区间迭代求根算法
  放弃伴随矩阵类的全局求根方法，改用scipy的root_scalar等工具，先通过多项式求值锁定有效根的大致区间，再用二分法、牛顿法等迭代方法求解，这类方法对病态多项式的适应性远好于全局求根。示例参考：

  import numpy as np
  from scipy.optimize import root_scalar
  
  poly = np.polynomial.Polynomial([4.383930e+00, 2.277144e+14, -7.008406e+25, -4.258004e+16])
  # 锁定小量级根的区间求解
  res = root_scalar(poly, bracket=[-1e-10, 1e-10], method='bisect')
  print(res.root, poly(res.root))
  

  上述方法得到的根代入多项式的误差会远小于numpy直接求根的结果。
• 方案3：采用高精度运算
  对精度要求极高的场景，可以使用mpmath等高精度计算库实现多项式求根，用计算速度换取精度，完全规避双精度浮点的精度限制。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user9413641