如何计算0~2π范围的弧夹角 解决arccos仅返回内角的问题

问题说明 #

编写Python脚本计算弧长时，已知如下参数：

• 弧圆心坐标(x1,y1)
• 弧起点坐标(x2,y2)
• 弧终点坐标(x3,y3)
• 旋转方向（顺时针cw/逆时针ccw）

最初通过点积结合arccos公式计算夹角，存在明显缺陷：arccos的输出范围仅为0_π（0180度），当弧的实际角度大于π时，只能返回两个向量的内角，无法得到真实的弧夹角。

最初使用的问题代码：

# 原问题代码（夹角范围仅支持0~π，不符合需求）
import numpy as np
aVector = np.array([x1 - x2, y1 - y2])
bVector = np.array([x1 - x3, y1 - y3])
aMag = np.linalg.norm(aVector)
bMag = np.linalg.norm(aVector)
theta = np.arccos(np.dot(aVector, bVector) / (aMag * bMag))

正确解决方案 #

改用atan2分别计算起止点相对于圆心的极角，再根据旋转方向调整极角顺序，最终通过取模运算得到0~2π范围内的真实弧夹角：

import math
# 计算起止点相对于圆心的极角
start = math.atan2(y2 - y1, x2 - x1)
end = math.atan2(y3 - y1, x3 - x1)
# 顺时针旋转时交换起止极角
if gcodeAnalysis[tempLineNum][4] == "G3": # 此处为顺时针判定逻辑，可根据实际参数调整
    start, end = end, start
tau = 2.0 * math.pi
# 两次取模保证结果落在0~2π区间内
theta = math.fmod(math.fmod(end - start, tau) + tau, tau)

验证测试 #

测试参数如下：

X1 = 0.00048399999999998444
Y1 = 0.0002720000000007161
X2 = 0.378484
Y2 = -14.694728
X3 = 3.376
Y3 = -14.307

该测试弧为逆时针方向，运行上述代码得到的正确结果为Theta = 6.077209477545957，符合预期。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alex Jones