ILP松弛解是否恒大于LP解 严格单调递增目标LPI最大化问题问询

问题1：ILP的松弛解是否始终大于LP的解 #

首先澄清概念歧义：标准定义下，整数线性规划（ILP）的线性松弛本身就是移除所有整数约束后得到的连续线性规划（LP）问题，因此你所说的「松弛解」就是对应LP的解，二者不存在本质差异，没有谁始终大于谁的说法。
如果你实际想问的是「ILP的最优解和其线性松弛LP的最优解的大小关系」，答案为大小关系由优化方向决定，不存在单向的始终大于：

• 最大化优化场景：ILP可行域是LP可行域的子集，LP最优值 ≥ ILP最优值
• 最小化优化场景：ILP可行域是LP可行域的子集，LP最优值 ≤ ILP最优值

问题2：严格单调递增目标的LPI最大化问题，是否LP解始终大于LPI解 #

结论：该结论成立，且严格单调递增的目标属于额外冗余前提，仅通过可行域包含关系即可完成推导。

推导依据： #

对于任意最大化优化问题，均满足通用逻辑：

若两个问题的可行域满足S₁ ⊆ S₂，则二者的最优值满足 max{f(x) | x∈S₁} ≤ max{f(x) | x∈S₂}
对应你的场景：

1. LPI（带整数约束的线性规划）的可行域S_I是所有同时满足线性约束、整数约束的决策变量取值的集合；其线性松弛LP的可行域S_C仅要求满足线性约束，不限制整数属性，因此天然满足S_I ⊆ S_C
2. 结合最大化问题的通用最优值比较逻辑，直接可得LPI的最优值 ≤ LP的最优值
3. 你提到的目标函数严格单调递增的前提，仅能保证两个问题的最优解唯一、且落在可行域上边界，不会改变上述不等式关系：
   • 当LP的最优解本身就是整数点时，LP最优值 = LPI最优值
   • 其余所有场景下，LP最优值严格大于LPI最优值

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Andrea Fresa