关于四元数乘积与最小旋转弧属性的两个问题咨询

首先明确默认讨论前提：所有用于表示3D旋转的四元数均为单位四元数，最小旋转弧属性指四元数实部w≥0，对应旋转角度θ=2arccos(w)∈[0, π]，即同一旋转的两种等价四元数表示（q和-q）中取旋转角度更小的那一种。

问题1：参与乘积的所有四元数都具备最小旋转弧属性，运算结果是否也具备该属性？ #

不一定，可通过反例验证：

• 取两个单位四元数q1、q2，均表示绕x轴旋转120°，四元数形式为q1 = q2 = [cos(60°), sin(60°), 0, 0] = [0.5, √3/2, 0, 0]，二者实部均为0.5≥0，满足最小旋转弧属性。
• 二者乘积q1*q2表示绕x轴旋转240°，对应四元数为[cos(120°), sin(120°), 0, 0] = [-0.5, √3/2, 0, 0]，实部为-0.5<0，不满足最小旋转弧属性。

多个最小旋转弧四元数相乘的结果不一定保留该属性，乘积生成后需要单独做实部符号校验，若实部为负则对四元数整体取反，即可得到对应的最小旋转弧表示。

问题2：参与乘积的四元数中至少有一个不具备最小旋转弧属性，运算结果是否必然不具备该属性？ #

不是必然，可通过反例验证：

• 取q1为绕x轴旋转240°的四元数，实部为cos(120°)=-0.5<0，不满足最小旋转弧属性；q2为绕x轴旋转120°的四元数，实部0.5≥0，满足该属性。
• 二者乘积q1*q2表示绕x轴旋转360°，即单位四元数[1, 0, 0, 0]，实部为1≥0，完全满足最小旋转弧属性。

因此输入中存在非最小旋转弧四元数时，乘积仍有可能得到具备最小旋转弧属性的结果，不存在必然性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Marcus