能否通过矩阵-向量运算计算对称矩阵AA^T且保持最少flops？

结论：完全可以实现，且不会产生不必要的冗余乘法运算，运算量和最优标量计算逻辑一致

具体实现逻辑 #

• 对角线元素计算：对每个i ∈ [1,n]，取A的第i行向量A[i,:]，执行矩阵-向量运算A[i,:] @ A[i,:].T，直接得到C[i,i]。这一步共执行n次向量内积，完全无冗余计算。
• 下三角非对角元素计算：对每个i ∈ [2,n]，遍历j ∈ [1,i-1]，执行矩阵-向量运算A[i,:] @ A[j,:].T得到C[i,j]。这一步共执行n(n-1)/2次向量内积，仅覆盖需要计算的下三角区域，不会触发上三角元素的乘法运算。
• 上三角赋值：利用对称性直接令C[j,i] = C[i,j]，该步骤只有内存拷贝操作，无浮点运算开销。

运算量验证 #

长度为n的向量内积单次浮点运算量为2n-1次（n次乘法+ n-1次加法），总运算次数为n + n(n-1)/2 = n(n+1)/2次，总浮点运算量刚好为(2n-1) * n(n+1)/2，和你提到的最优标量计算的运算量完全一致，没有额外开销。

工程实现提示 #

如果基于优化线性代数库实现，不要调用通用gemm矩阵乘法接口，该接口默认计算完整n×n矩阵会产生冗余运算。你可以循环调用向量内积接口（本质就是行向量乘列向量的矩阵-向量运算），或者直接调用专门的对称秩k更新接口syrk，后者底层已经实现了对称矩阵的优化计算逻辑，不会产生冗余运算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tesslaqwe