为什么np.linalg.eig求解拉普拉斯矩阵得不到正确的特征值和特征向量？

你观测到的结果完全符合数值线性代数库的设计逻辑，没有错误，核心原因如下：

• 特征向量的行列对应关系误解
  numpy、scipy的所有特征值求解函数的返回格式均为(特征值数组w, 特征向量矩阵v)，其中**v[:, i]（第i列）才是对应特征值w[i]的特征向量**，而非v[i, :]（第i行）。以np.linalg.eigh的输出为例，它针对对称矩阵会默认返回升序排列的特征值，第一个特征值9.996582244115599e-17就是数值精度下的0，对应的第一列特征向量为[-0.57735027, -5.77350269e-01, -0.57735027]，和理论结果完全匹配。
• 特征向量默认L2归一化
  特征向量的定义为满足L·v = λ·v的非零向量，任意非零常数乘以v都是同一特征值的合法特征向量。数值库默认会将返回的特征向量缩放到L2范数为1，3维全1向量的模长为√3 ≈1.732，单位化后每个元素就是1/√3 ≈0.57735，和你看到的输出完全一致。你可以将该特征向量乘以±√3，就能得到理论上的全1向量。
• 特征值排序规则差异
  只有针对实对称矩阵优化的eigh函数会默认按升序返回特征值，通用的eig函数不会保证特征值的排列顺序，需要你自行对特征值排序后再匹配对应的特征向量。你观测到的1e-16量级的特征值就是浮点计算舍入误差下的0，可以直接视为理论上的0特征值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者黄晨晰