如何进一步化简并确定Θ(n²logn)对应的c1和c2？

要确定满足 ( c_1 n^2 \log n \leq (21n^2 + 97n + 26)\log(1024n^2 + 100) \leq c_2 n^2 \log n ) 的常数 ( c_1, c_2 > 0 )，我们可以分步骤利用Θ符号的定义来推导，核心是对多项式和对数部分分别找上下界，再结合起来得到最终的常数。

第一步：分析多项式部分 ( 21n^2 + 97n + 26 ) #

对于所有 ( n \geq 1 )：

• 下界：因为 ( 97n + 26 \geq 0 )，所以 ( 21n^2 \leq 21n^2 + 97n + 26 )。
• 上界：当 ( n \geq 1 ) 时，( n \leq n^2 )、( 1 \leq n^2 )，因此 ( 97n \leq 97n^2 )，( 26 \leq 26n^2 )。把这些代入多项式可得：
  ( 21n^2 + 97n + 26 \leq 21n^2 + 97n^2 + 26n^2 = 144n^2 )。

第二步：分析对数部分 ( \log(1024n^2 + 100) ) #

对数函数是单调递增的，我们可以基于这一点找上下界（这里的对数可以是任意底数，因为底数不影响Θ的结果）：

• 下界：当 ( n \geq 1 ) 时，( 1024n^2 + 100 \geq 1024n^2 )，因此：
  ( \log(1024n^2 + 100) \geq \log(1024n^2) = \log(1024) + 2\log n \geq 2\log n )（因为 ( \log(1024) ) 是正数常数）。
• 上界：当 ( n \geq 1 ) 时，( 100 \leq 1024n^2 )（因为 ( 1024 \times 1 = 1024 > 100 )），所以 ( 1024n^2 + 100 \leq 1024n^2 + 1024n^2 = 2048n^2 )，因此：
  ( \log(1024n^2 + 100) \leq \log(2048n^2) = \log(2048) + 2\log n )。
  当 ( n \geq 2 ) 时，( \log n \geq \log 2 \geq 1 )，所以 ( \log(2048) + 2\log n \leq (\log(2048) + 2)\log n )。

第三步：结合上下界推导c₁和c₂ #

推导下界常数c₁ #

把多项式的下界和对数的下界相乘：
[ 21n^2 \times 2\log n = 42n^2 \log n \leq (21n^2 + 97n + 26)\log(1024n^2 + 100) ]
因此可以取 ( c_1 = 42 )，这个常数对所有 ( n \geq 1 ) 都成立。

推导上界常数c₂ #

把多项式的上界和对数的上界相乘：
[ (21n^2 + 97n + 26)\log(1024n^2 + 100) \leq 144n^2 \times (\log(2048) + 2)\log n ]
如果我们以2为对数底数，( \log_2(2048) = 11 )，那么 ( \log_2(2048) + 2 = 13 )，因此：
[ 144 \times 13 = 1872 ]
所以可以取 ( c_2 = 1872 )，这个常数对所有 ( n \geq 1 ) 都成立。

优化（可选）：更小的c₂和n₀ #

如果我们愿意取更大的 ( n_0 )，可以得到更小的 ( c_2 )。比如当 ( n \geq 98 ) 时，( 97n + 26 \leq n^2 )（因为 ( n \geq 98 ) 时 ( n^2 \geq 98n > 97n + 26 )），此时多项式的上界可以简化为 ( 21n^2 + n^2 = 22n^2 )。同时对数部分的上界可以简化为 ( \log(1024n^2 + n^2) = \log(1025n^2) = \log(1025) + 2\log n )，若用常用对数，( \log_{10}(1025) \approx 3.01 )，则 ( 3.01 + 2 = 5.01 )，因此 ( c_2 \approx 22 \times 5.01 = 110.22 )，取整数 ( c_2 = 111 )，搭配 ( n_0 = 98 ) 即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jona